2017届高考文科数学第一轮考点规范练习题14.doc

考点规范练26平面向量的应用

考点规范练B册第16页?

基础巩固组

1.在△ABC所在平面上有一点P,满足,则△PAB与△ABC的面积之比是()

A. B. C. D.

答案:A

解析:由已知可得=2,

∴P是线段AC的三等分点(靠近点A),

易知S△PAB=S△ABC,

即S△PAB∶S△ABC=1∶3.

2.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足=x2-6,则点P的轨迹是()

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

答案:D

解析:=(-2-x,-y),=(3-x,-y),

∴=(-2-x)(3-x)+y2=x2,

∴y2=x.

3.在△ABC中,()·=||2,则△ABC的形状一定是()

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

答案:C

解析:由()·=||2,得·()=0,

即·()=0,2=0,

∴,∴A=90°.又根据已知条件不能得到||=||,

故△ABC一定是直角三角形.

4.在锐角三角形ABC中,若BC=2,sinA=,则的最大值为()

A. B. C.1 D.3

答案:C

解析:设△ABC三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc×=4,由基本不等式可得4≥bc,即bc≤3,当且仅当b=c时,等号成立.

所以=bccosA=bc≤1.

5.在△ABC中,=(,-1),=(1,-),则cosB=()

A.- B. C. D.0

答案:A

解析:∵在△ABC中,=(,-1),=(1,-),

∴||=2,||=2,=(-,1).

∴cosB==-,选A.

6.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的()

A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心?导学

答案:C

解析:假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M在线段BC的垂直平分线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心,选C.

7.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若0,则y0的取值范围是()

A. B.

C. D.?导学

答案:A

解析:由条件知F1(-,0),F2(,0),

∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),

∴-30.①

又∵=1,

∴=2+2.代入①得,

∴-y0.

8.(2015辽宁大连模拟)已知椭圆方程为=1,点A(1,1),M为椭圆上任意一点,动点N满足=2,则N点的轨迹方程为.?导学?

答案:=1

解析:设M(x1,y1),N(x,y),则由已知得(x-1,y-1)=2(x1-1,y1-1),即

因为M点在椭圆上,故M点坐标满足椭圆方程.

所以=1.

9.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A,B两点,且||=||,其中O为坐标原点,则实数a的值为.?

答案:±2

解析:如图所示,以OA,OB为边作平行四边形OACB,

则由||=||,得平行四边形OACB是矩形,.

由图像得,直线y=-x+a在y轴上的截距为±2.

10.

已知在△ABC中,∠C是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.

证明:建立如图所示的平面直角坐标系,

设A(a,0),则B(0,a),E(x,y).

∵D是BC的中点,∴D.

又=2,

即(x-a,y)=2(-x,a-y),

∴

解得x=,y=a.

∵-(a,0)=,

∴=(-a)×a×

=-a2+a2=0,

∴,即AD⊥CE.

11.(2015兰州诊断)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a,b),q=(sinB,sinA),n=(b-2,a-2).

(1)若p∥q,求证:△ABC为等腰三角形;

(2)若p⊥n,边长c=2,∠C=,求△ABC的面积.

(1)证明:∵p∥q,∴asinA=bsinB,

即a·=b·(其中R是△ABC外接圆的半径).

∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.

(2)解:由p⊥n得p·n=0,

即a(b-2)+b(a-2)=0,

∴a+b=ab.

又c=2,∠C=,

∴4=a2+b2-2abcos,即有

4=(a+b)2-3ab.

∴(ab)2-3ab-4=0,

∴ab=4(ab=-1舍去).

因此,S△ABC=absinC=×4×.

能力提升组

12.平面上O,A,B三点不共线,设=a,=b,则△OAB的面积等于()

A. B.

C. D.

答案:C

解析:设∠AOB=θ,那么cosθ=,

则sinθ=

=,

那么△OAB的面积S=|a||b