湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期第四次适应性测试数学试题（含答案解析）.docx

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湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期第四次适应性测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．集合，，则的真子集有（???）

A．个 B．个 C．个 D．个

2．已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（????）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（????）

A．7 B．5 C．9 D．11

4．已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（????）

A． B．

C． D．

5．已知是所在平面内一点，且，则的最大值为（???）

A． B． C． D．

6．若等差数列的前n项和为S，且满足，对任意正整数，都有则的值为（????）

A．21 B．22 C．23 D．24

7．三棱锥中，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（????）

A． B． C． D．

8．如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（????）

A．与为对立事件 B．与不是互斥事件

C． D．

10．已知圆，抛物线的焦点为为抛物线上一点，则（???）

A．以点为直径端点的圆与轴相切

B．当最小时，

C．当时，直线与圆相切

D．当时，以为圆心，线段长为半径的圆与圆相交公共弦长为

11．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（????）

A．三棱锥的体积为 B．平面

C．平面 D．二面角的余弦值为

三、填空题

12．在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为.

13．3名男生和2名女生随机站成一排，恰有2名男生相邻，则不同的排法种数为

14．若是函数的两个极值点且，则实数的取值范围为.

四、解答题

15．在三棱柱中，平面是的中点．

(1)证明：直线平面；

(2)求平面与平面夹角的正弦值．

16．已知函数．

(1)试讨论函数的单调性；

(2)若，恒成立，求的取值范围．

17．已知椭圆()的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为16．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为．是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

18．台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：

??

44

4.8

10

40.3

1.612

19.5

8.06

现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.

(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?

(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?

(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.

附：①相关系数，

回归直线中公式分别为，；

②参考数据：，，，.

19．已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.

(1)若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；

(2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；

(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．

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参考答案：

1．C

【分析】先求集