2015届高考理科数学第二专题整合检测题59.doc

专题七十三数列综合题

【高频考点解读】

数列问题是每年高考的必考内容，涉及选择题、填空题、解答题等多种题型，分值在17至20分之间．小题多是考查等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及前n项和公式等基础知识，大题多是考查数列的定义、数列的求和、数列的通项、有关数列问题的证明以及数列与函数、不等式、解析几何等知识的交汇问题．解答数列问题时，既要熟记有关公式，能够运用基本方法解决问题，又要善于运用数列的性质进行巧解．此外，还要善于运用数列中蕴含的一些重要思想方法，例如：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等，这些都是近几年高考经常考查的思想方法．

【热点题型】

题型一数列的基本运算

例1、已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和S

【提分秘籍】

数列的基本运算是新课标考查中最常见的题型，主要考查两种数列的求和公式及通项公式，试题难度较小．

【热点题型】

题型二数列求和

例2、已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.

(1)求等差数列{an}的通项公式；

(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

【提分秘籍】

数列求和是近几年高考中的热点，基本题型一般先进行简单运算，再运用“倒序相加”、“错位相减”、“分项求和”等常用方法对数列求和．

【热点题型】

题型三数列与函数、不等式等知识的综合

例3、已知函数f(x)＝x2＋x－1，α、β(α＞β)是方程f(x)＝0的两个根，f′(x)是f(x)的导数，设a1＝1，an＋1＝an－eq\f(f?an?,f′?an?)(n∈N*)．

(1)求α、β的值；

(2)已知对任意的正整数n，都有an＞α，记bn＝lneq\f(an－β,an－α)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.

【提分秘籍】

数列与函数、不等式、导数、向量、解析几何等相结合，通过不同知识点的交汇进行命题，以考查能力为主，以数列为背景的不等式证明问题成为近年来高考的热点，要掌握常见的证明不等式的方法，以便更好的解决问题．

【高考风向标】

1．（2014·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.

(1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求

(2)若p＝eq\f(1,2)，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．

2．（2014·安徽卷）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.

(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；

(2)数列{an}满足a1＞ceq\f(1,p)，an＋1＝eq\f(p－1,p)an＋eq\f(c,p)aeq\o\al(1－p,n)，证明：an＞an＋1＞ceq\f(1,p).

(2)方法一：先用数学归纳法证明anceq\f(1,p).

①当n＝1时，由题设知a1ceq\f(1,p)成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式akceq\s\up6(\f(1,p))成立．

综上所述，anan＋1ceq\f(1,p)，n∈N*.

3．（2014·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式．

(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

4．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.

(1)令cn＝eq\f(an,bn)，求数列{cn}的通项公式；

(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.

5．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

(1)证明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))是等比数列，并求{an}的通项公式；

(2)证明eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜eq\f(3,2).

6．（2014·四川卷）设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．

(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；

(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－eq\f(1,ln2)，求数列eq\b\lc\{\rc\}