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专题七十三数列综合题
【高频考点解读】
数列问题是每年高考的必考内容,涉及选择题、填空题、解答题等多种题型,分值在17至20分之间.小题多是考查等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及前n项和公式等基础知识,大题多是考查数列的定义、数列的求和、数列的通项、有关数列问题的证明以及数列与函数、不等式、解析几何等知识的交汇问题.解答数列问题时,既要熟记有关公式,能够运用基本方法解决问题,又要善于运用数列的性质进行巧解.此外,还要善于运用数列中蕴含的一些重要思想方法,例如:函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等,这些都是近几年高考经常考查的思想方法.
【热点题型】
题型一数列的基本运算
例1、已知等差数列{an}的前5项和为105,且a10=2a5
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意m∈N*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和S
【提分秘籍】
数列的基本运算是新课标考查中最常见的题型,主要考查两种数列的求和公式及通项公式,试题难度较小.
【热点题型】
题型二数列求和
例2、已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.
【提分秘籍】
数列求和是近几年高考中的热点,基本题型一般先进行简单运算,再运用“倒序相加”、“错位相减”、“分项求和”等常用方法对数列求和.
【热点题型】
题型三数列与函数、不等式等知识的综合
例3、已知函数f(x)=x2+x-1,α、β(α>β)是方程f(x)=0的两个根,f′(x)是f(x)的导数,设a1=1,an+1=an-eq\f(f?an?,f′?an?)(n∈N*).
(1)求α、β的值;
(2)已知对任意的正整数n,都有an>α,记bn=lneq\f(an-β,an-α)(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
【提分秘籍】
数列与函数、不等式、导数、向量、解析几何等相结合,通过不同知识点的交汇进行命题,以考查能力为主,以数列为背景的不等式证明问题成为近年来高考的热点,要掌握常见的证明不等式的方法,以便更好的解决问题.
【高考风向标】
1.(2014·湖南卷)已知数列{an}满足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*.
(1)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求
(2)若p=eq\f(1,2),且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式.
2.(2014·安徽卷)设实数c>0,整数p>1,n∈N*.
(1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px;
(2)数列{an}满足a1>ceq\f(1,p),an+1=eq\f(p-1,p)an+eq\f(c,p)aeq\o\al(1-p,n),证明:an>an+1>ceq\f(1,p).
(2)方法一:先用数学归纳法证明anceq\f(1,p).
①当n=1时,由题设知a1ceq\f(1,p)成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式akceq\s\up6(\f(1,p))成立.
综上所述,anan+1ceq\f(1,p),n∈N*.
3.(2014·湖北卷)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
4.(2014·江西卷)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=eq\f(an,bn),求数列{cn}的通项公式;
(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.
5.(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an+\f(1,2)))是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明eq\f(1,a1)+eq\f(1,a2)+…+eq\f(1,an)<eq\f(3,2).
6.(2014·四川卷)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图像上(n∈N*).
(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上,求数列{an}的前n项和Sn;
(2)若a1=1,函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-eq\f(1,ln2),求数列eq\b\lc\{\rc\}
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