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一类三角形的面积比问题

一类三角形的面积比问题

定理在中，点满足R且，则，当共线时，约定；当共线时，约定；当共线时，约定．

证明以射线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系(如图1所示).

图1

设，得．

又设，由得，所以

若，得，因为，所以，得．

再由，得，所以，这与题设矛盾！所以，得．

又因为，所以．

同理，有．

一类三角形的面积比问题全文共1页，当前为第1页。所以.

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定理获证．

注有很多文献(比如文献[1])也研究了以上定理的结论，但都限定了R．

推论1若点在内，则0．

推论2(1)若点是的重心，则0；

(2)若点是的内心，则0(其中)；

(3)若点是锐角的外心，则0；

(4)若点是锐角的垂心，则0．

证明(1)在中，设射线AG交BC于点D.

由点是的重心，得，所以.

同理，可得.

再由推论1，立得欲证结论成立.

(2)可设的内切圆⊙的半径是r，得

再由推论1，立得欲证结论成立.

(3)可设的外接圆⊙的半径是R，得

再由推论1，立得欲证结论成立.

(4)如图2所示，设，得

同理，有．

所以，再由推论1可得欲证．

一类三角形的面积比问题全文共2页，当前为第2页。

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图2

下面举例说明以上诸结论的应用.

题1(2008年西北工业大学自主招生高考测试数学试题第6题)设为内一点，且，则与的面积之比为()

B.C.D.

解A.可得0，由定理得与的面积之比为．

题2(2008年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛暨2008年吉林省高中数学竞赛试题第3题)已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则点一定为的()

A.AB边上中线的中点B.AB边上中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点

解B.由题设及推论2(1)，可得

所以选B.

题3(2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试第5题)如图3所示，设为内一点，且，则的面积与的面积之比等于()

A.B.C.D.

图3

解A.可得0，再由定理可得答案.

一类三角形的面积比问题全文共3页，当前为第3页。题4(2004年全国高中数学联赛第一试第4题)设点在的内部，且有0，则的面积与的面积的比为()

一类三角形的面积比问题全文共3页，当前为第3页。

A.2B.C.3D.

解C.由定理可得的面积与的面积的比为.

题5(2012年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题第14题)设为内一点，且，则的面积与的面积比为.

解.可得0，再由定理1(3)可得答案.

题6(2012年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题第4题)已知点在内部，且，记的面积为，的面积为，则的值为.

解2.可得0，再由定理可得答案.

题7(2012年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题第7题)已知在所在平面内一点，满足，则与的面积之比为.

解2:1.可得0，再由定理可得答案.

题8(2011年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题(高二年级)第1题)已知是所在平面上一点，满足，则与的面积之比为.

解.可得0，再由定理可得答案.

题9设是的垂心，.若，则.

解.可求得，所以是锐角三角形.

由，得0．

由推论2(4)，可得

题10(2008年南京大学自主招生试题第3题)设是内任意一点，证明：0．

(显然，该题就是推论1．)

一类三角形的面积比问题全文共4页，当前为第4页。题11在所在的平面上求一点，使取最小值.

一类三角形的面积比问题全文共4页，当前为第4页。

解设的重心为点G，由推论2(1)，可得

所以当且仅当点是的重心G时，取最小值.

题12在中，.若M是的内切圆⊙上的任意一点，试判断是否为定值？并说明理由.

解设⊙的半径为r，由推论2(2)，可得

由题设可知，均为定值，所以为定值.

题13在中，成递增的等差数列，点G，I分别为的重心和内心，求证：.

证明设为所在平面上的任一点，由推论2(1)可得

0

再由推论2(2)，得

0

再由，得

所以

一类三角形的面积比问题全文共5页，当前为第5页。

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所以.

题14已知的外接圆⊙的半径是R，内切圆⊙的半径是r，求证：.

证明设.

由推论2(2)，(详细过程见题13的解答)可得

所以

参考文献

一类三角形