函数的最大(小)值与导数 课件.ppt

第一章1.31.3.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-2函数的最大(小)值与导数1．下图中的函数f(x)的最大值为________，最小值为________．而极大值为________，极小值为________．新知导学f(g)f(b)f(d)，f(g)f(c)，f(e)2．由上图还可以看出，假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a，b]上一定能够取得________与________，若该函数在(a，b)内是________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．但在开区间(a，b)内可导的函数f(x)________有最大值与最小值．最大值最小值可导的不一定 函数f(x)＝x3－3x－1，x∈[－3,2]，则f(x)的最大值与最小值的差为()A．20 B．18C．4 D．0[答案]A[分析]首先求f(x)在[－3,2]上的极值，然后计算f(－1)与f(1)，通过比较找出最大值与最小值，即可获解．利用导数求函数的最大值与最小值[解析]∵f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴当x∈(－∞，－1)和(1，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(－1,1)时，f′(x)0；∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数；而f(－3)＝－27＋9－1＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝8－6－1＝1，∴fmax(x)＝1，fmin(x)＝－19，故f(x)的最大值与最小值的差为20，故选A.[方法规律总结]1.求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值步骤如下：(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点；(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．含参数的函数最值问题 设函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x∈[－1,1]内没有极值点，求a的取值范围；(3)若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范围．[分析](1)求f(x)的单调区间，可解不等式f′(x)≥0，f′(x)≤0，由于f(x)表达式中含参数，故需注意是否需要分类讨论；(2)f(x)在x∈[－1,1]内没有极值点的含义是f′(x)＝0在[－1,1]内没有实数根，故f(x)在[－1,1]内单调；(3)f(x)≤1在[－2,2]内恒成立，则f(x)在[－2,2]内的最大值≤1.而f(2)－f(－2)＝16－4a20，f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m，又∵f(x)≤1在[－2,2]上恒成立，∴－8＋4a＋2a2＋m≤1，即m≤9－4a－2a2，在a∈[3,6]上恒成立，∵9－4a－2a2的最小值为－87，∴m≤－87.[方法规律总结]1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．2．(1)当f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．(2)当图象连续不断的函数f(x)在(a，b)内只有一个极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间．3．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．与函数最值有关的综合问题 已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.(1)求a、b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．[分析]求a、b的值需建立a、b的方程组求解；求f(x)在[－3，3]上的最值，需按照“用导数求函数最值”的一般步骤进行；第一章1.31.3.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-2