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第一章1.31.3.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-2函数的最大(小)值与导数1.下图中的函数f(x)的最大值为________,最小值为________.而极大值为________,极小值为________.新知导学f(g)f(b)f(d),f(g)f(c),f(e)2.由上图还可以看出,假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,该函数在[a,b]上一定能够取得________与________,若该函数在(a,b)内是________,该函数的最值必在极值点或区间端点取得.但在开区间(a,b)内可导的函数f(x)________有最大值与最小值.最大值最小值可导的不一定 函数f(x)=x3-3x-1,x∈[-3,2],则f(x)的最大值与最小值的差为()A.20 B.18C.4 D.0[答案]A[分析]首先求f(x)在[-3,2]上的极值,然后计算f(-1)与f(1),通过比较找出最大值与最小值,即可获解.利用导数求函数的最大值与最小值[解析]∵f(x)=x3-3x-1,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),∴当x∈(-∞,-1)和(1,+∞)时,f′(x)0;当x∈(-1,1)时,f′(x)0;∴f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数;而f(-3)=-27+9-1=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=8-6-1=1,∴fmax(x)=1,fmin(x)=-19,故f(x)的最大值与最小值的差为20,故选A.[方法规律总结]1.求可导函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值步骤如下:(1)求f(x)在开区间(a,b)内所有极值点;(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.含参数的函数最值问题 设函数f(x)=x3+ax2-a2x+m(a0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x∈[-1,1]内没有极值点,求a的取值范围;(3)若对任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范围.[分析](1)求f(x)的单调区间,可解不等式f′(x)≥0,f′(x)≤0,由于f(x)表达式中含参数,故需注意是否需要分类讨论;(2)f(x)在x∈[-1,1]内没有极值点的含义是f′(x)=0在[-1,1]内没有实数根,故f(x)在[-1,1]内单调;(3)f(x)≤1在[-2,2]内恒成立,则f(x)在[-2,2]内的最大值≤1.而f(2)-f(-2)=16-4a20,f(x)max=f(-2)=-8+4a+2a2+m,又∵f(x)≤1在[-2,2]上恒成立,∴-8+4a+2a2+m≤1,即m≤9-4a-2a2,在a∈[3,6]上恒成立,∵9-4a-2a2的最小值为-87,∴m≤-87.[方法规律总结]1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,故含参数时,需注意是否分类讨论.2.(1)当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时,其最大值、最小值在端点处取得.(2)当图象连续不断的函数f(x)在(a,b)内只有一个极大(或极小)值,则可以断定f(x)在该点处取到最大(或最小)值,这里(a,b)也可以是无穷区间.3.已知函数最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数,进而使问题得以解决.与函数最值有关的综合问题 已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16.(1)求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.[分析]求a、b的值需建立a、b的方程组求解;求f(x)在[-3,3]上的最值,需按照“用导数求函数最值”的一般步骤进行;第一章1.31.3.3第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-2
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