18-19 第3章 3.4 3.4.2 基本不等式的应用.pdfVIP

3.4.2基本不等式的应用

学习目标：1.驾驭基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简洁的最

大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题

[自主预习·探新知]

基本不等式与最值

已知a≥0，b≥0，在运用基本不等式时，要留意：

(1)和a＋b肯定时，积ab有最大值；

(2)积ab肯定时，和a＋b有最小值；

(3)取等号的条件.

思索1：因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号，所以当x＝1时，(x2＋1)

min

＝2.

以上说法对吗？为什么？

[提示]错．明显(x2＋1)＝1.

min

x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号，仅说明抛物线y＝x2＋1恒在直线y＝2x

上方，仅在x＝1时有公共点

运用基本不等式求最值，不等式两端必需有一端是定值．假如都不是定值，

可能出错

思索2：回顾上一节的内容，你认为利用基本不等式求最值时应留意哪些方

面？

[提示]①代数式中，各项必需都是正数，例如x＋，当x0时，就不能干

脆用基本不等式得x＋≥2，而应当转化为正数后再应用基本不等式

②代数式中，含变量的各项的和或积必需是常数．若含变量的各项之和或之

积不是常数(定值)时，必需进行适当的配凑，使和或积变为常数(定值)，方可求

出函数的最大值或最小值

③利用基本不等式求最值时，必需保证“＝”能取得．若取不到等号，必需

经过适当的变形，使之能取得等号

④多次运用基本不等式时，由于连续运用基本不等式或者限定了某些量的取

值范围，而导致等号成立的条件不具备，不能干脆运用基本不等式，这时应进一

步转化，使其转化成能用不等式求解或用其他方法求解

[基础自测]

1．设x，y满意x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________．

[解]∵x，y∈(0，＋∞)，

∴xy≤＝400，

当且仅当x＝y＝20时等号成立

[答案]400

2．把总长为16m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是

2

________m.

[解]设一边长为xm，则另一边长为(8－x)m，则面积S＝x(8－x)≤

＝16，

当且仅当x＝8－x，即x＝4时等号成立

[答案]16

[合作探究·攻重难]

利用基本不等式求条件最值

(1)已知x0，y0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．

(2)若x＋2y＝1，且x0，y0，则＋的最小值为________.

【导学】

[思路探究]留意条件“＋＝1”及“x＋2y＝1”的作用

[解](1)∵＋＝1，x0，y0，

∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋

≥10＋2

＝16.

当且仅当＝，即x＝4，y＝12时等号成立

(2)∵x＋2y＝1，x0，y0，

∴＋＝(x＋2y)

＝8＋2＋＋≥10＋2＝18.

当且仅当＝，即x＝，y＝