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微分中值定理的应用
—洛必达法则求0 型和?型未定式的极限
0 ?
设(1)当x?0时,函数f(x)和F(x)都趋于零;
(2)在a点的某去心邻域内,f?(x)和F?(x)都存在且F?(x)?0;
(3)
lim
x?a
(x??)
f(x)存在(或无穷大),
F(x)
则
lim
f(x)
?lim
f?(x)
x?aF(x)
x?aF?(x)
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，常与其它求极限方法结合使用，尤其是等价无穷小的替换.
例求limtanx?x
x?0
x2tanx
解原式= limtanx?x
= lim
sec2
x?1=1lim
tan2x=1
x?0 x3
x?0 3x2
3x?0 x2 3
0??,???,00,1?,?0型未定式的求法（转化为0 型和?型）
0 ?
1
例求lim(cotx)lnx. (?0)型
x?0?
1 1
解由于(cotx)lnx?elnx
?ln(cotx)
? 1 ? 1
而lim1
ln(cotx)
?lim
?
cotx sin2
1
x ?lim
?x
?cosx?sinx
??1
x?0?lnx
x?0
x
x?0
所以原式=e?1.
注意：洛必达法则的使用条件．例1求limx?cosx.
x???x
解原式=lim1?sinx
x???1
?lim(1?sinx).极限不存在
x??
（洛必达法条件不满足的情况）
正确解法为 原式=lim(1?1cosx)?1.
x???x
例2求lim[tann(?
n???4
?2)]
n
?
解设f(x)?[tanx(
?2)]，则f(n)?[tann(?
?2)]
4 x 4 n
? 2
lntan( ? )
[lim 4 x ]
1
? 2 x???
?[limxlntan(
?
因为lim f(x) ex???
x???
? )]
4 x
=e x
[lim
?
sec2(
4
?2)(?2)
x x2 ]
x??? ?1
tan(
??2) 4
?e x2
4 x =e
1
例3. lim1?ex
x?0??1
x?ex
解：设u?1，lim
1
11?ex
1
?lim 1?eu ?lim ?eu ?lim
?1
??1
t
1? 1?x2
1? 1?x2
x?0
x?0??1
x?ex
sinx?1
u???
u
?eu u????1
u2
eu u???
? 1 ?1
u2eu
解：limex
x?0
sinx?1?lim
1? 1
1? 1?x2
?ex
?sinx?1 1? ?
1?x2???
1?x2
??
??lim 1?
?
1?
1?x2
?
?ex
1?
sinx?1?
1?x2
?2limex
cosx
?lim
ex?sinx?1
x?0
x?0 x2
x?0 2x
x?0 1
例5：设函数y?f(x)在x?0的邻域内具有一阶连续导数，且f(0)?0,f/(0)?0
若af(h)?bf(2h)?f(0)在h?0时是比h高阶的无穷小，求a,b计算导数
二函数的单调性与曲线的凹凸性
设函数y?f(x)在[a,b]上连续?在(a,b)内可导?
如果在(a,b)内f?(x)?0?那么函数y? f(x)在[a,b]上单调增加?
如果在(a,b)内f?(x)?0?那么函数y? f(x)在[a
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