苏教版高中数学选择性必修第二册6.3.2.2空间向量与垂直关系【教学课件】.pptx

;1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.

2.能利用直线的方向向量与平面的法向量判定并证明空间中的垂

直(线线、线面、面面)关系.;在上一节中，我们研究了空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面的平行关系与直线的方向向量和平面的法向量的关系.那么，直线的方向向量和平面的法向量与空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系间又有什么联系呢？;;;问题1如图，直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，直线l1，l2垂直时，e1，e2之间有什么关系？;;例1如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.;证明方法一以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，;故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.;反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法

(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.

(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.;跟踪训练1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点，求证：

(1)BD1⊥AC；;证明以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.;(2)BD1⊥EB1.;;问题2如图，设e是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，e，n之间有什么关系？;设直线l的方向向量为e＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?e∥n?e＝kn，k∈R.

注意点：

(1)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行.

(2)证明线面垂直的方法：

①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.;②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两??不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.

③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.;例2如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.

求证：AB1⊥平面A1BD.;证明方法一如图所示，取BC的中点O，连接AO，因为△ABC为正三角形，;又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.

方法二建系同方法一.

设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，;所以AB1⊥平面A1BD.;反思感悟用向量法证明线面垂直的方法

(1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直.

(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行.;跟踪训练2如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

(1)证明：AP⊥BC；;证明由题意知AD⊥BC，如图，以O为坐标原点，以过O点且平行于BC的直线为x轴，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.;(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.;证明∵M是AP上一点，且AM＝3，;;问题3设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直平面β时，n1，n2之间有什么关系？;设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.

注意点：

若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直.;例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.;证明由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，;令x＝1，得y＝1，故n1＝(1,1,0).

设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，;反思感悟利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.;跟踪训练3如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥