第二章 等式与不等式（11类题型清单）（原卷版）【单元速记】-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）.docx

第二章等式与不等式知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

01思维导图

02

02知识速记

知识点01、实数大小的比较

1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.

2、作差法比大小：①；②；③

3、不等式性质

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变

性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

知识点02、不等式的性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

（等价于）

传递性

（推出）

可加性

（等价于

可乘性

注意的符号（涉及分类讨论的思想）

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

，同为正数

可开方性

知识点03、一元二次不等式的解与解集

使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.

将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.

知识点04、函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

1、对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

判别式

二次函数(的图象

一元二次方程

()的根

有两个不相等的实数根，()

有两个相等的实数根

没有实数根

()的解集

()的解集

解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；

②时，求根；

③时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

知识点05、分式不等式

1定义：

与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。

2分式不等式的解法

①移项化零：将分式不等式右边化为0：

②

③

④

⑤

知识点06、含绝对值不等式

方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）；

方法二：应用数形结合思想；

方法三：应用化归思想等价转化.

=1\*GB3①最简单的绝对值不等式的同解变形

；；

或；或.

=2\*GB3②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形

；

或；

.

知识点07、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．

如果，有（当且仅当时，取“”号）

特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.

03

03题型归纳

题型一等式与不等式的性质

例题1．（2024高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（????）

A．，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

例题2．（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，且，则（????）

A． B． C． D．

例题3．（24-25高一上·上海·课前预习）已知，以下说法：

①若，则；②若，则；③若，则，

其中正确的是．

巩固训练

1．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高一上·北京·期中）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（????）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

3．（23-24高三上·上海静安·期中）如果，那么下列式子中一定成立的是（???）

A． B． C． D．

题型二利用不等式求范围

例题1．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是．

例题2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，且，则的取值范围是.

巩固训练

1．（2024高一·上海·专题练习）已知，则的取值范围是．

2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求及的取值范围．

题型三作差法比较大小

例题1．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）;????（2）;

（3）;??????（4）,;

（5）

例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则与的大小关系为．

例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小：

(1)已知，试比较与的大小；

(2)已知，比较与的大小．

巩固训练

1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

2．（23-24高一上·上海浦东新·