第二章 一元二次函数、方程和不等式（压轴题专练，全题型压轴）（解析版）【单元速记】-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）.docx

第二章一元二次函数、方程和不等式（压轴题专练）

01

01单选压轴题

1．（江西省新余市2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试题）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（????）

A．12 B． C． D．

【答案】C

【分析】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.

【详解】由，则

，

当且仅当，即，时，等号成立.

故选：C.

2．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值.

【详解】，

，

设，

则，

，

当，即，时等号成立，

所以的最大值为.

故选：D

3．（2024高一·全国）定义：（i）表示x的最小值；（ii）表示不超过x的最大整数．设a，b，c为正数，则（????）

A．0 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】先根据题意和基本不等式得出：三数中至少有一个不小于2，可判断选项A；再利用反证法和不等式性质即可判断选项B、C；举例验证选项D.

【详解】因为a，b，c为正数，

所以由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立.

从而三数中至少有一个不小于2.

不妨设，

则，故选项A错误；

对于选项B：假设

则，，，

则，，，

即，；.

由可得：；

由可得：，两者矛盾，

所以假设错误，故选项B错误；

对于选项C：假设，

①若，，，

则，，

即（1）；（2）；（3）；

结合不等式的性质：

由（1）（2）得，即，

由（1）（3）得，两者矛盾；

②若，，，

则，，，

即（4）；（5）；（6）.

由（4）（5）得，即，

由（4）（6）得，两者矛盾．

综上所述，假设错误，即，故选项C错误；

若取，

则，

从而，故选项D正确.

故选：D．

4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（????）

A．12 B．24 C． D．

【答案】B

【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值.

【详解】，，变形为，

令，

则转化为

，即，

其中

????

当且仅当，即时取等号，可知.

故选：B

【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

5．（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围.

【详解】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立，

即至少存在一个，使得关于的不等式成立，

画出以及的图象如下图所示，其中.

当与相切时，

由消去并化简得，

.

当与相切时，

由消去并化简得①，

由解得，代入①得，

解得，不符合题意.

当过时，.

结合图象可知的取值范围是.

故选：A

【点睛】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解.

6．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）记为，两数的最大值，当正数，（）变化时，的最小值为（????）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【分析】根据题中定义，结合基本不等式进行求解.

【详解】由，可得，，

，

当正数，（）时，

，

当且仅当，即时等号成立，

故，则，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故选：A

7．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知，且，则的最小值为（????）

A．9 B．10 C．11 D．

【答案】A

【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．

【详解】，，又，且，

，

当且仅当，解得，时等号成立，

故的最小值为9．

故选：A．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是