【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（人教版）第22讲重难点拓展：二次函数综合之四种角度问题（原卷版讲义）.docxVIP

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第22讲重难点拓展：二次函数综合之四种角度问题

题型一：角相等问题题型二：二倍角关系问题

题型三：两角和与差问题题型四：特殊角问题

1、角的数量关系处理的一般方法如下：

??（1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；

??（2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；

??（3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．

2.特殊角问题处理的一般方法如下：

??（1）运用三角函数值；

??（2）遇45°构造等腰直角三角形；

??（3）遇30°，60°构造等边三角形；

??（4）遇90°构造直角三角形．

一、角相等问题

对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。

二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。

二、二倍角关系问题

对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径：

等角的构造方法

（1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；

（2）用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；；

（3）利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系；

（4）利用角平分线的相关性质定理。

二倍角的构造方法

如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.

这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了

题型归纳

题型一：角相等问题

【例1】（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为．

??

(1)请直接写出、、三点坐标．

(2)如图，点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求线段长度的最大值；

(3)如图，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；

【变式1-1】（23-24九年级下·湖南永州·开学考试）综合与探究．

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．

(1)求，，三点的坐标；

(2)若点是轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标；

(3)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式1-2】（2024·广东·一模）综合应用．

如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．

??

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；

(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线，，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．

【变式1-3】（2024·山东日照·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴，

①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；

②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；

③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标．

题型二：二倍角关系问题

【例2】（2024·西藏·二模）已知抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，抛物线与y轴交于C点．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图（甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作轴于D，直线与交于点E，当是以为底的等腰三角形时，求P点的坐标；

(3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足，求M的坐标．

【变式2-1】（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E．

(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式．

(2)当时，求点D的坐标．

【变式2-2】（2024·山东东营·模拟预测）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内