【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（人教版）第12讲 实际问题与二次函数（2个知识点+7个考点）解析版讲义.docxVIP

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第12讲实际问题与二次函数（2个知识点+7个考点）

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题；

2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理

解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型；

3.培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．

知识点一、列二次函数解应用题

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：

(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．

(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．

(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．

(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．

(6)写出答案．

要点归纳：

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

知识点二、建立二次函数模型求解实际问题

一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．

要点归纳：

(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：

①首先必须了解二次函数的基本性质；

②学会从实际问题中建立二次函数的模型；

③借助二次函数的性质来解决实际问题.

考点一：利用二次函数解决体育中的最值问题

【例1】某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高eq\f(20,9)米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？

(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？

解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．

解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A(0，eq\f(20,9))，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－eq\f(1,9)(x－4)2＋4.将点C的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C在抛物线上，所以此球一定能投中．

(2)将x＝1代入解析式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．

【变式1-1】一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离

为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.若该运动

员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

【解析】如图建立直角坐标系.

∵点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点

∴设解析式为：(a≠0)（0≤x≤4），带入点（4,3.05），可求得：a=-0.2

∴（0≤x≤4），

即,

当x=0时，y=2.25，∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米.

【变式1-2】．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．

(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．

(2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．

(3)按（2）中的速