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2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
（2011年12月4日上午9:00~11:00）
题号
题号
一
（1~8）
二
9
10
11
12
总分
得分
评卷复核
解答本试卷可以使用科学计算器
一、填空题（每题10分，共80分）
已知关于x的两个方程：x2
?x?3m?0??①，x2
?x?m?0??②，其中
m?0。若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m的值是 。
已知梯形ABCD中，AB//CD，?ABC?90?，BD?AD，BC?5，BD?13，则梯形ABCD的面积为 。
从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为 。
4. 将8个数?7，?5，?3，?2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e，f，g，
h，使得?a?b?c?d?2
?e?f?g?h?2的值最小，则这个最小值为 。
已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AB，BC上的点，使得AE?3，
BF?2，线段AF与DE相交于点G，则四边形DGFC的面积为 。
在等腰直角三角形ABC中，?ACB?90?，P是?ABC内一点，使得PA?11，PB?7，PC?6，则边AC的长为 。
有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五
名选手的得分和的4，则第2名选手的得分是 。
5
已知a，b，c，d都是质数（质数即素数，允许a，b，c，d有相同的情况），且abcd
是35个连续正整数的和，则a?b?c?d的最小值为 。
二、解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）
如图，矩形ABCD的对角线交点为O，已知?DAC?60?，角DAC的平分线与边DC交于点S，直线OS与AD相交于点L，直线BL与AC相交于点M。求证：SM//LC。
解
DS
D
S
C
M
O
A B
对于正整数n，记n!?1?2? ?n。求所有的正整数组?a,b,c,d,e,f?，使得
a!?b!?c!?d!?e!?f!，且a?b?c?d?e?f。解
（1）证明：存在整数x，y，满足x2
4xy?y2
?2022；
（2）问：是否存在整数x，y，满足x2
4xy?y2
?2011?证明你的结论。
解
对每一个大于1的整数n，设它的所有不同的质因数为p
1
，p，...，p
2 k
，对于每个
p?1?i?k?，存在正整数a
i i
，使得pai
i
?n?p
i
ai?1，
记p?n??pa1
1
pa2? ?p
2 k
ak例如，p?100??26?52?89。
试找出一个正整数n，使得p?n??n；
证明：存在无穷多个正整数n，使得p?n??1.1n。解
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