区间估计分析和总结.docx

§6.3§6.4：P165-167；170-174；

178表格（在理解的基础上记熟）

一、思想方法

测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需要估计误差

（x

（

近似值

x ）即要求确切地知道近似值的近似程度（亦即真值的取值

真值范围）类似地，对于未知参数?，除了要求出它的点估计??外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数?真值的可靠程度，这样的范围通常用区间的形式给出，同时还要给出此区间包含参数?真值的可靠程

真值

度，这种形式的估计称为区间估计，现在先引入置信区间的定义。

? ?置信区间设总体分布含有一个未知参数?，若由样本确定的两个统计量??(X,X , ,X )及??(X,X , ,X )对于给定值? (0?? ?1)

? ?

1 1 2 n 2 1 2 n

P(?? ?????)?1??(*)

1 2

则称随机区间(??,??)是未知参数?的置信区间。??称为置信下限，?? 称为

1 2 1 2

置信上限，1??称为置信度

(*)式的意义如下：若反复抽样多次（每次抽样的样本容量都相等）每

组样本观察值都确定了一个区间(??,??)，每个这样的区间要么包含?的真

1 2

值，要么不包含，按贝努里大数定律，在这些区间中包含?真值的区间大约

占100(1?? )%，不包含?真值的区间大约占100? %左右，例如? ?0.01，

反复抽样1000次，则得到的1000个区间中不含?真值的区间仅有10个左右。

例题1 设总体X ~N(?,0.09)，随机抽样得到4个独立的观察值

x,x

1 2

,x,x

3 4

求总体均值? 的1?? 置信区间

X???/ n分析：我们知道

X??

?/ n

Z? ~N(0,1)

所服从的分布N(0,1)不依赖于待估参数?，按标准正态分布的上侧

X??

X??

?/ n

P?

?

?

?u ??1??

X??

X??

?/ n

?

?

2

?? ? ? ?

?

P X?u ?

即? ?

即

???X?u ?

n?

n

??1??

n?

n

这样我们就得到了

?的一

2 2

个置信度为1?? 的置信区间

??? ? ? ?

?

?

X?u ?

★??

★

?

2

?

,X?u ?

nn??

n

n

?

2

?? ?

?

?这样的置信区间常写成?

?

X?u ?

n??

n

?

2

例如，在此例中若得到的一组样本观察值为12.6，13.4，12.8，13.2，求

?的95%置信区间

0.09? ?1?0.95?0.05，样本容量n?4，? ? ?0.3，

0.09

1 n 1

i样本均值x?n? x

i

?4(12.6?13.4?12.8?13.2)?13，代入上式得?的

i?1

95%置信区间为（12.71，13.29）其含义是：若反复抽样多次，每个样本值按★式确定一个区间，按上面的解释，在这么多的区间中，包含?的约占95%，不包含?的约占5%，现在抽样得到区间（12.71，13.29），则该区间属于那些包含?的区间的可信程度为95%，或“该区间包含?”这

一陈述的可信程度为95%

然而，置信度为1?? 的置信区间并不是唯一的，以此例来说，若给定

? ?0.05，则又有

P? X?? ?

?/n即??z ? ?z ?

?/

n

即

? 0.04 0.01?

P??X? ? z

P

?

???X? ? z

??0.95

n?

n

??X? ? z

?

0.01

n?,X? ? z ?

n

?

0.04?

?

故

?95%

?

nn? 0.01

n

n

0.04?也是 的

置信区间。我们将它与★中令

? ?0.05所得的置信度为95%的置信区间

???X? ? z ,X? ? z ?

?

?

nn? 0.025

n

n

0.025?

相比较，可知由★所确定的区间的长度为？

而第二种区间估计的区间长度为？置信区间短表示估计的精度高。故由★给出的区间较好，易知，象N(0,1)分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况，当n 固定时，以形如★那样的区间其长度为最短，我们自然选用它。

但即使是在概率密度的图形不对称的情形，如? 2分