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第17讲相似三角形性质及应用
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理(吃透教材)
模块三教材习题学解题
模块四核心考点精准练
模块五小试牛刀过关测
1.掌握相似三角形的性质定理,
2.能利用三角形相似的性质解决部分几何计算题,
3.利用三角形相似解决一些实际问题
一、相似三角形的性质
性质1:相似三角形的对应角相等,对应边对应成比例.
性质2:相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比.
注意:要特别注意“对应”两个字,在应用时,要注意找准对应线段.
性质3:相似三角形周长的比等于相似比
如图一:∽,则
由比例性质可得:
图一
性质4:相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二,∽,则分别作出与的高和,则
图二
注意:相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
二、相似三角形的应用
利用相似三角形测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度,通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决
注意:测量旗杆的高度的几种方法:
平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法
利用相似三角形测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离,常构造如下两种相似三角形求解.
1.如甲图所示,通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离(长度),根据相似三角形的性质,求出AB的长.
2.如乙图所示,可先测AC、DC及DE的长,再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意:
1.比例尺:表示图上距离比实地距离缩小的程度,比例尺=图上距离/实际距离;
2.太阳离我们非常遥远,因此可以把太阳光近似看成平行光线.在同一时刻,两物体影子之比等于其对应高的比;
3.视点:观察事物的着眼点(一般指观察者眼睛的位置);
4.仰(俯)角:观察者向上(下)看时,视线与水平方向的夹角.
教材习题01
如图,屋架跨度的一半OP=5m,高度OQ=2.25m.现要在屋顶上开一个天窗,天窗高度AC=1.20m,AB在水平位置.求AB的长(精确到0.01m).
解题方法
要求AB的长,根据题目给的条件,只需要根据三角形相似的性质,即可求解.
【答案】
解:由题意,得AB∥PO,
∴∠ABC=∠OPQ
又∵∠CAB=∠POQ=Rt∠,
∴ΔABC∽ΔOPQ,
∴ABOP=ACOQ,
∴AB=OP×ACOQ=5×1.202.25≈2.67(m).
考点一:利用三角形相似性质求解
例1.若两个相似三角形的面积比是16:9,则这两个三角形对应边上的高之比是(????)
A.16:9 B.9:16 C.3:4 D.4:3
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质,熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应高(中线、角平分线)的比等于相似比是解题的关键.由相似三角形的面积比等于相似比的平方先求得相似比,再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案.
【详解】解:∵两个相似三角形的面积比是16:9
∴这两个相似三角形的相似比是4:3
∴这两个相似三角形对应边上的高之比是4:3.
故选:D.
变式1-1.如图,在Rt△ABD中,∠A=90°,AB∥DC,DC=2AB,且CE⊥DB.若AB=2,AD=72,则CE
A.76565 B.72 C.14
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理,相似三角形的判定和性质,知识的综合运用是解题的关键.先运用勾股定理计算出DB的长度,由AB∥DC,易证△DAB∽△CED,最后列出比例式求解即可.
【详解】由勾股定理得DB=A
∵AB∥DC,CE⊥DB,∠A=90°
∴∠ABD=∠CDE,∠CED=90°=∠A,
∴△DAB∽△CED,
∴CEAD
∴CE7
解得CE=28
故选:D.
变式1-2.如图,在平面直角坐标系中,△ABC∽△ODC,其中点A的坐标为?2,0,点C的坐标为1,0,则△ABC与△ODC的面积比是()
A.9:1 B.3:1 C.4:1 D.2:1
【答案】A
【分析】此题考查了相似三角形的性质,先求出OA=2,OC=1,AC=3,由△ABC∽△ODC得到相似比为:ACOC
【详解】解:∵点A的坐标为?2,0,点C的坐标为1,0,
∴OA=2,OC=1,
∴AC=3,
∵△ABC∽△ODC,
∴相似比为:ACOC
∴△ABC与△ODC的面积比是9:1,
故选:A
考点二:利用三角形相似求坐标
例2.如图,点A、B、C、D的坐标分别是1,0、5,0、3,2、4,1,如果以点C、D、E为顶点的直角三角形与
①2
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