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第03讲二次函数的图像与性质(2)
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理(吃透教材)
模块三教材习题学解题
模块四核心考点精准练
模块五小试牛刀过关测
1.理解并能掌握二次函数图像的性质
2.掌握二次函数的图像平移问题
3.掌握二次函数的对称轴与顶点相关问题
4.掌握二次函数的增减性,最大(小)值问题
5.掌握二次函数的一般形式的顶点坐标以及对称轴相关问题
1.y=ax2+c的图象的性质
总结:y=ax2+c(a≠0)与y=ax2(a≠0)的联系
二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到:
当c0时,向上平移c个单位长度得到.当c0时,向下平移c个单位长度得到.
2.y=a(x-h)2的图象的性质
y=a(x-h)2
a0
a0
开口方向
开口向上
开口向下
顶点坐标
(h,0)
(h,0)
最值
当x=h时,y取最小值0
当x=h时,y取最大值0
对称轴
直线x=h
直线x=h
增减性
当x<h时,y随x的增大而减小;当x>h时,y随x的增大而增大。
当x<h时,y随x的增大而增大;当x>h时,y随x的减小而减小。
总结:y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2+c(a≠0)之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到:
当h0时,向右平移h个单位长度得到.当h0时,向左平移-h个单位长度得到.
左右平移规律:括号内左加右减;括号外不变
3.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质
y=a(x-h)2+k
a0
a0
开口方向
开口向上
开口向下
顶点坐标
(h,k)
(h,k)
最值
当x=h时,y取最小值k
当x=h时,y取最大值k
增减性
当x<h时,y随x的增大而减小;当x>h时,y随x的增大而增大。
当x<h时,y随x的增大而增大;当x>h时,y随x的减小而减小。
图象形状
抛物线形状
开口大小
a的绝对值越大,开口越小
总结:一般地,函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,可以由函数y=ax2的图象先向右(当h0)或向左(当h0)平移|h|个单位,再向上(当k0)或向下(当k0)平移|k|个单位得到,顶点是(h,k),对称轴是直线x=h.
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
对于二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a≠0),我们通过变形,可以将其转化为y=a(x+b2a)2+4ac?b24a(a≠0).由此可见,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与函数y=ax2(a≠0)的图象的形状、开口方向均相同,只是位置不同,可以通过平移y
一般地,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有以下性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-b2a,顶点坐标是(-b2a
教材习题01
对于二次函数y=-13(x-4)2
(1)把函数y=-13x2的图象作怎样的平移,就能得到函数y=-13(x-4)
(2)说出函数y=-13(x-4)2
解题方法
①y=-13(x-4)2的图像与y=-13x
②根据二次函数的图像以及性质,得到二次函数的顶点坐标和对称轴
【答案】
解:(1)向右平移4个单位
(2)顶点为(4,0),对称轴为x=4.
教材习题02
求抛物线y=-12x2+3x-5
解题方法
①根据y=ax2+bx+c形式的二次函数性质,可以根据公式计算顶点坐标以及对称轴
【答案】
解:∵a=-12,b=3,c=-
∴-b2a=-32×(-12)
因此抛物线y=-12x2+3x-52的对称轴是直线
考点一:二次函数图像的平移相关问题
例1.将抛物线y=3x2向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到新抛物线的解析式为(
A.y=3x?22+1
C.y=3x+22?1
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键.
根据“左加右减,上加下减”的法则进行解答即可.
【详解】解:将抛物线y=3x向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为:y=3x?2
故选:D.
变式1-1.二次函数y=x2的图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到新图象的二次函数表达式是(
A.y=(x+2)2+3
C.y=(x?2)2+3
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的平移,熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键.根据二次函数图象平移的法则即可得出结论.
【详解】解:由“左加右减”的原则可知,二次函数y=x2的图象向左平移2个单位得到
由“上加下
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