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常系数非齐次线性微分方程第八节一、第七章二、型

二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法常见类型自由项为

一、?为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得为m次多项式.(1)若?不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为Q(x)为m次待定系数多项式

(2)若?是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为即令由求出

(3)若?是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为即令由求出

小结特解形式：二阶常系数线性非齐次微分方程:是与同次的多项式.将代入式，或将代入得特征方程：

例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为

例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为

例3.求通解解特征方程特征根齐通解即非齐通解为

练习解特征方程特征根对应齐次方程通解代入方程,得原方程通解为

解特征方程为特征根为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为

原方程的一个特解为故原方程的通解为

二、对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),

例5.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解

例6求通解解相应齐方程特征方程齐通解先求的特解设代入方程再求的特解

可设代入方程得原方程的特解所求通解为比较系数,得因此

内容小结?为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.

1.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为

作业P2261(2),(3);2(1)习题课2第九节