数学建模资料.docx

1、简要说明数学建模的一般过程或步骤（可以用框架示意图）

模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息；

模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。

模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系。（查资料得出数学式子或算法）。

模型求解：利用数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要做出进一步的简化或假设。注意要尽量采用简单的数学公具。

模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。

模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。框架示意图如下：

2、试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。

解：依假设条件，四个桌脚连线呈正方形，因而以其中心为对称点，令正方形绕中心旋转便

表示了方桌位置改变，于是可以用旋转角度的变化表达桌子的不同位置。

为了确定起见，我们以这个正方形中心为原点建立平面直角坐标系，并假设旋转开始时

(角度??0，四个桌脚点 A 、B 、C、D 中 A、C位于X轴上，则B

、D位

于Y轴上。旋转角度? 后，点A

、B 、C、D变到点A

、B

、C

、D （图

1-5），显然，随着?的改变，方桌的位置也跟着改变，从而桌脚与地面距离也随之改变。注

意到试验结果，尽管方桌有四只脚，因而有四个距离，但对于每个角度，总有点A、C同

时着地而B 、D点不同时着地或B 、D点同时着地，而A、C点不同时着地，故只

要设两个距离函数即可。

，A、C两脚与地面距离之和为f??? B

，

???

g、D两脚与地面距离之和为 ，且作为

g

距离函数的

???

f，

f

g???

均为非负函数。

由假设4，

???

f与

f

??

g?均为连续函数。而由假设3，对任一角度?

g

?

，恒有

???

f=0

f

g???

g

而 ≥0或

???

g=0而

g

???

f≥0，即对

f

??, ??? ???

f g=0

f g

?? g?? ? f?? ?

?

0，使 0 =0, 0 ≥0同时成立，还需要条件支持。注意到在初始位置（ =0），

f?0?

f

或， =0，

?0?

g0或

g

?0?

f0，

f

?0?

g=0，而旋转90度后，两组条件恰好交换。如

g

?此，方桌通过旋转改变位置能放稳的证明，便归结为证明如下的数学命题：

?

f???

f

已知 ,

???

g是

g

?的连续函数，对任意

f???g???

， =0且

f?0?

=0 时

g?0?

???

f? ?

f

2

???

g? ?

g

2

时 0, ?

?0时 ?

?=0。

?

求证：存在0

??0,??

? ?? 2?

? ?

f?? ?

0

g? ?

?= 0

?

=0。

?

f???

g???

这就是方桌问题的数学模型。易见只需引进一个变量 及其一元函数 ， ，

便把模型条件和结论用简单又精确的数学语言表述出来。从而形成所需要的数学模型。

3、质量为m的小球系在长为1的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在中路mg作用下做往复摆动。考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比，比例系数位k，用量刚建模求摆动周期t的表达式。

解：设f?t,l,m,g,k ??0,

m?5

量纲：?t??T

?l??L ?m??M ?g??LT?2

?k??MT?1

?0 1 0 1 0?

量纲矩阵：A??0 0 1 0 1?

r?3

? ?

??1 0 0 ?2 ?1??

?y?

?0 1 0 1 0??y1?

?y??0 0 1 0 1?? 2??0

?

y

?

??

??1 0 0 ?2 ?1???y3?

? 4?

???y?

?

?

5

??2有m-r=5-3=2个基本解。

?

?

2

y?1?

??0,1,?1,?1,1?T y?

???1,?1,0,1,0?T

??? 2 2 ?

?

?

1 ? ?1

? 2 2 ?

?1 1

即：?

1

?l2m1g

2k ?

2

?tl

2g2

F??,?

1 2