【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（人教版）专题01 平行线四种常见模型解题技巧（原卷版讲义）.docxVIP

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专题01平行线四种常见模型解题技巧

题型一：“猪蹄”模型题型二：“铅笔”模型

题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折”模型

模型一：“猪蹄”模型

如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？

解：∠B＋∠D＝∠DEB．

理由如下：

过点E作EF//AB

又∵AB//CD．?

∴EF//CD．

?∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．

∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB

?即∠B＋∠D＝∠DEB．

猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。

如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．

思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．

思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．

小结

证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。

猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）

结论：∠B+∠D=∠E

步骤总结

步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线

步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角

步骤三：推导出角的数量关系

模型二、“铅笔”模型

如图，AB//CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？

解：∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．

理由如下：

过点E作EF//AB．

?又∵AB//CD．?

?∴EF//CD．

?∴∠B+∠BEF＝180°．

????∠D+∠DEF＝180°．

∴∠B＋∠D+∠DEB

＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF＝360°．

?即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．

从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：

那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。

模型结论：∠B+∠E+∠D=360°

二、模型证明

如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°

证明一：如图，过点E作FG//AB

∵?AB//FG，AB//CD

∴?FG//CD

∵?AB//FG

∴∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵FG//CD

∴?∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∴?∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°

∴∠B+∠D+∠BED=360°

证明二：如图，连接BD，

∵AB//CD

∴∠ABD+∠BDC=180°

在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°

∴?∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°

∴?∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°

∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°

证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。

三、猪蹄模型和铅笔头模型关系

1、将猪蹄模型转化为铅笔头模型

ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED

∵∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°

∴?∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴?180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED

∴?∠FBE+∠GDE+∠BED=360°

2、将铅笔头模型转化为猪蹄模型

ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得，

∠ABE+∠BED+∠CDE=360°

∵?∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°

∴?∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE

∴?180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360°

∴?∠FBE+∠GDE=∠BED

模型三、“鸡翅”模型

如图，已知AB//CD，试猜想∠A、∠E、∠C的关系，并说明理由．

解：∠AEC=∠A-∠C,

理由如下：

过点E作EF//AB

又∵AB//CD．?

∴EF//CD．

∴∠A+∠FEA=180°，

∠C+∠FEC=180°

∴∠AEC＝∠FEC-∠FEA=180°-∠C–(180°-∠A)=∠A-∠C

即：∠AEC=∠A-∠C

模型四、“骨折模型”

如图，已知BC//DE，试猜想∠A、∠B、∠D的关系，并说明理由．

解：∠BAD=∠D-∠B,

理由如下：

过点A作AG//B