《线性代数（第4版）》 习题及答案汇总 张学奇 第1--5章 .doc

第一章习题选解

1.设矩阵满足，其中，，求

解设，则

，．

利用矩阵相等的定义，得.

2.求

解将行列式的第二、三、四列全加到第一列，并提公因子，再化为三角行列式得

3.求

解把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取10，再化为三角行列式得

====160.

4.求

解按第一列展开，得

=+=

5.求解方程

解因为

所以方程的解为.

6.设，计算．

解，而

7.求逆矩阵

解令，因为，所以矩阵可逆.

又

从而

8.解矩阵方程

解

9.已知n阶矩阵，满足，求证：可逆，并求.

证因为，即，

所以，

从而，为可逆矩阵，而且.

10.设为3阶矩阵，为的伴随矩阵，且，求行列式的值.

解因为，，，

所以====.

11.设,，求.

解由可得

故

12.设，且，求.

解由方程，合并含有未知矩阵的项，得

．

又，其行列式，故可逆，

用左乘上式两边，即得=

13.设，求及

解令,.则.

,

由.得.

所以

14.求的逆矩阵

解令，，则是一个分块对角矩阵，

因为＝，＝，

所以＝

注：，

15求逆矩阵.

解

；故逆矩阵为.

16.已知矩阵的秩为3，求的值．

解对作初等变换

若，则，所以.

第二章线性方程组

习题2.1

2.当k取何值时，齐次线性方程组仅有零解.

解齐次线性方程组的系数行列式为

=

由克拉默法则知，当且时有，此时方程组仅有零解.

3.问取何值时，齐次线性方程组有非零解？

解方程组的系数行列式为，

若齐次线性方程组有非零解，则，即，所以或

不难验证，当或该齐次线性方程组确有非零解.

4.用消元法解下列线性方程组

（2）；

（3）（4）

解（2）设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换

所以与原方程组等价的方程组为

于是原方程组的解为.

（3）设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换

=

因为，即，所以方程组无解.

（4）设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换

=

.

得原方程组的同解方程组即

则方程组的解为（c为任意常数）.

5.当k为何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出此非零解.

解齐次线性方程组的系数行列式为

当时，即时，齐次线性方程组有非零解.

当时，齐次线性方程组为

设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换

=

得原方程组的同解方程组，即

则方程组的解为（c为任意常数）.

6.当为何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？当有解时，求出方程组的解.

解设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换

=

当时，方程组无解.

当且时，方程组有唯一解.

此时原方程组的同解方程组为，

则方程组的解为

当时，方程组有无穷多个解.此时原方程组的同解方程组为

即

则方程组的解为（为任意常数）.

习题2.3

1.判定下列各组中的向量是否可以表示为其余向量的线性组合？若可以，试求出其一个线性表示式.

（1）；

（2）；

（3）；

解（1）设，则是方程组的解

设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换

=

得到方程组的解为，所以.

（2）设，则是方程组的解.

设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换

=

.

因为，所以方程组无解，故不能表示为的线性组合.

（3）设，则是方程组的解.

设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换

=

.

得到原方程的同解方程组为.

所以不唯一，令，则，故.

2.若可由线性表示，且，，，，求．

解对向量组进行初等行变换

=

所以，当时，可由线性表示.

5.判定下列各向量组的线性相关性.

（2）

（3）

解（2）对向量组构成的矩阵实施初等行变换

因为，所以向量组线性相关.

（3）对向量组构成的矩阵实施初等行变换

因为，所以向量组线性无关.

6.设向量组，试确定a为何值时，向量组线性相关.

解考虑以为系数列向量构成的齐次方程组

方程组的系数矩阵的行列式为

当时，即时，方程组有非零解，此时向量组线性相关.

7.设，且向量组线性无关，证明向量组也线性无关.

证设存在数，使得

即

因向量组线性无关，故

因为故方程组只有零解，所以线性无关.

习题2.4

2.求下列向量组的秩：

（1）

解（1）作矩阵，并对实施初等行变换

因为，所以向量组的秩为3.

3.求下列各向量组的一个极大无关组，并将其余向量表示为该极大无关组的线性组合.

（1）；

（2）；

解（1）作矩阵，并对实施初等行变换

因为，所以向量组的秩为2.且为的一个极大无关组.由的第三列可得.

（2）作矩阵，并对实施初等行变换

因为，所以向量组的秩为2.且为的一个极大无关组.由的第