【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（浙教版）01讲 二次函数的概念和定义（解析版讲义）.docxVIP

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第01讲二次函数的概念和定义

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三教材习题学解题

模块四核心考点精准练

模块五小试牛刀过关测

1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式

2.会建立简单的二次函数的模型，并根据实际问题确定自变量的取值范围

3.会用待定系数法求二次函数的解析式

二次函数的定义

1）定义：形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项．

2）一般形式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c是常数）

注意：

（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；

（2）a，b，c为常数，且a≠0；

（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项．

3）方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断．

除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）外，还有其特殊形式如y＝ax2，y＝ax2＋bx，y＝ax2＋c等．

待定系数法求二次函数的解析式

思路：分别将已知的x值对应的y值到代入到二次函数的一般形式当中，通过解方程组求出a，b，c的值，即可得到二次函数的一般形式解析式。

二次函数的值

在求出字母参数的前提下，得到的函数解析式，通过代入法将x代入其中，求出y的值

教材习题01

如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2）.

（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.

（2）当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，

求对应的四边形EFGH的面积，并列表表示.

解题方法

①正方形的边长为2cm，即可知道该正方形的面积；

②4个直角三角形是全等的，面积也相等；

③四边形EFGH的面积可由正方形面积减去4个直角三角形的面积得到；

【答案】

（1）y=4-4×12x（2-x）=2x2-4x+4，x取值范围为0＜x

（2）x=0.25时，y=2×0.252-4×0.25+4=3.125（cm2）

依次计算，x=0.5时，y=2.5（cm2），x=1时，y=2（cm2）；x=1.5时，y=2.5（cm2）；x=1.75时，y=3.125（cm2）

列表如下

x（cm）

0.25

0.5

1

1.5

1.75

y（cm2）

3.125

2.5

2

2.5

3.125

教材习题02

已知二次函数y=x2+bx+c,当x=1时,函数值为4；当x=2时,函数值为-5,求这个二次函数的解析式.

解题方法

①当x=1时,函数值为4，所以4=12+b×1+c

当x=2时,函数值为-5，所以—5=22+b×2+c

②得到关于b，c的二元一次方程组，从而解出b，c；

【答案】

y=x2—12x+15

考点一：二次函数的判断

例1．下列函数中，一定是二次函数的是（）

A．y=x?x+1 B．

C．y=2x+3 D．y=

【答案】A

【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．

【详解】解：A、y=x?x+1

B、当a=0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；

C、y=2x+3，不是二次函数，是一次函数，故此选项不符合题意；

D、y=x?1

故选：A．

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a、b、c

变式1-1．下列函数解析式中，y一定是x的二次函数的是（????）

A．y=2ax2 B．y=2x+a2 C．

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的识别，形如y=ax

【详解】解：A，当a=0时，y=2ax

B，y=2x+a2，y是

C，y=2x2?1，y

D，y=x

故选C．

变式1-2．下列函数是二次函数的是（????）

A．y=2x?1 B．y=x2?1 C．y=

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y=ax2+bx+c（a、b、c

【详解】解：A、函数y=2x?1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

B、函数y=x2?1

C、函数y=x

D、函数y=12x分母中含有

故选：C．

变式1-3．下列函数关系式中，二次函数的个数有（）

（1）y=3(x?1)2+1；（2）y=1x2?x；（3）S=3?2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是