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*第1.4节克莱姆法则下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个方程的n元线性方程组的问题.定理（克莱姆法则）如果n元线性方程组则方程组有惟一解的系数行列式返回返回*其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,…,bn所构成的n级行列式,即定理的结论有两层含义：①方程组（1）有解；②解惟一且可由式(2)给出.*证首先证明方程组(1)有解.事实上,将代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开得即式(2)给出的是方程组(1)的解.*下面证明解惟一.设xj=cj(j=1,2,…,n)为方程组(1)的任意一个解，则以D的第j列元素的代数余子式A1j,A2j,…,Anj依次乘以上式各等式，相加得从而Dcj=Dj由于D?0,因此即方程组的解是惟一的.*推论1如果线性方程组(1)无解或有两个不同解，

则D=0；的系数行列式D?0，则方程组只有零解;而若方程组有非零解，则D=0.可以证明,系数行列式D=0，是上述方程组有非零解的充分必要条件.推论2如果齐次线性方程组*例1解线性方程组解系数行列式*例2若齐次线性方程组解系数行列式方程组有非零解，则D=0.于是?=3或?=0.有非零解，求?值.*解(3)返回箭形行列式*例4证明证*证*2.证明1.计算行列式思考练习（行列式的性质）*思考练习（行列式性质答案）*=右边思考练习（行列式性质答案）*行列式按行（列）展开1.行列式按一行（列）展开余子式与代数余子式在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.返回返回*例1求出行列式解*行列式按一行（列）展开定理n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即*证(i)D的第一行只有元素a11?0，其余元素均为零,即而A11=(-1)1+1M11=M11,故D=a11A11;*(ii)当D的第i行只有元素aij?0时，即将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列经(i-1)+(j-1)=i+j-2次对调后,aij位于第1行、第1列,即(iii)一般地由(i)*由(ii)*推论n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即*证考虑辅助行列式0=t列j列*例2计算行列式解法1法2选取“0”多的行或列*例3计算行列式解计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.*例4计算n阶行列式解*解*例6已知4阶行列式解法1法2利用行列式的按列展开定理，简化计算.**练习（按行展开定理）计算行列式*解答**4.第n+1列加到第n列,?第2n列加到第1列.*也可用按行或列展开做.按第一行展开。**(按第一行展开)*记住这类题的解法!*关于范德蒙行列式注意以下三点*1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列.2.结果:可为正可为负可为零.3.共n(n-1)/2项的乘积.对于范德蒙行列式,我们的任务就是利用它计算行列式,因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.你能识别出范德蒙行列式吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？*如：*第1章行列式行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则.*第1章行列式n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则*1.二阶与三阶行列式(1)二阶行列式为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：*上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：称其为二阶行列式.据此，解中的分子可分别记为：*(2)三阶行列式称为三阶行列式.‘—’三元素