11.3 多边形及其内角和 讲义 2024-2025学年人教版数学八年级上册.docx

????

?

?

?

?

?

?

?

多边形及其内角和

11.3

?

?

目录

TOC\o1-3\h\z\u探究1多边形及其相关概念 2

探究2多边形的内角和 6

探究3多边形的外角和 8

探究1多边形及其相关概念

1．多边形的定义

1．多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形…三角形是最简单的多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形（n是不小于3的任意正整数）．

2．多边形的分类：

（1）凸多边形：整个图形都在多边形任何一条边所在直线的同一侧．

（2）凹多边形：至少有一条边，使整个图形不都在这条直线的同一侧．

3．多边形的内角、外角、对角线的定义：

（1）多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．

（2）多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．

（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

4．正多边形的定义：

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．

◆◆◆◆◆◆◆

【例1】（2024?路南区二模）如图，正六边形中，、分别为边、上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为

A． B． C． D．

【答案】

【分析】连接，作于点，于点，由正六边形的性质可得，设各边长为，则，然后利用勾股定理及面积公式可得答案．

【解答】解：连接，作于点，于点，

正六边形各内角为，

，

设各边长为，则，

，

，，

，

，

，

空白部分面积和阴影部分面积的比值为：．

故选：．

【例2】（2024?河北模拟）下列长度的两条线段与长度为2，5的线段首尾依次相连能组成四边形的是

A．1，1 B．1，8 C．1，2 D．2，3

【答案】

【分析】三条较短线段长的和大于最长线段的长，则四条线段能组成四边形，由此即可判断．

【解答】解：、，

长度为1，1与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故不符合题意；

、，

长度为1，8与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故不符合题意；

、，

长度为1，2与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故不符合题意；

、，

长度为2，3与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故符合题意；

故选：．

【例3】（2024春?道里区校级月考）已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于4．

【答案】4．

【分析】根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案．

【解答】解：正八边形的周长是，

这个多边形的边长为：，

故答案为：4．

1．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．各个角都相等，各条边也都相等，二者缺一不可．如只满足

1．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．各个角都相等，各条边也都相等，二者缺一不可．如只满足4个角都相等，或者只满足4条边都相等的四边形未必是正方形（可能是长方形或者菱形）．

2．三角形的三个顶点确定一个平面，但边数大于3的“多边形”的顶点有不共面的情况，所以在多边形的定义中要加上“在平面内”这个条件．

3．多边形用表示它的各个顶点的大写字母表示，表示多边形的字母要按顶点的顺序书写，可以按顺时针顺序，也可以按逆时针顺序．

4．多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：

（1）画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．

（2）每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．

◆◆◆◆◆◆◆

探究2多边形的内角和

1．

1．多边形内角和定理：边形内角和等于．

2．正边形的每个内角都相等，所以正多边形的每个内角的度数为．

3．多边形内角和定理推导的基本方法：从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是边形的内角和．

◆◆◆◆◆◆◆

【例4】（2024春?潍城区期末）如图，在五边形中，，，，则的大小为

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据平行线的性质可得，再根据多边形内角和定理即可求解．

【解答】解：，

，

五边形中，，，

．

故选：．

【例5】（2024?玉环市二模）如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为

A． B． C． D．

【答案】

【分析】利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求得正九边形每个内角的度数，然后利用角的和差即可求得答案．

【解答】解：正九边形每个内角的度数为，

则，

故选