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第二章一元二次函数、方程和不等式(题型清单)
01思维导图
01思维导图
02
02知识速记
知识点01:不等式的性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
(等价于)
传递性
(推出)
可加性
(等价于
可乘性
注意的符号(涉及分类讨论的思想)
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
,同为正数
可开方性
知识点02:基本不等式(一正,二定,三相等,特别注意“一正”,“三相等”这两类陷阱)
基本不等式:,,(当且仅当时,取“”号)其中叫做正数,的几何平均数;叫做正数,的算数平均数.
如果,有(当且仅当时,取“”号)
特别的,如果,用分别代替,代入,可得:,当且仅当时,“”号成立.
知识点03:基本不等式链
(其中,当且仅当时,取“”号)
知识点04:四个二次的关系
4.1一元二次函数的零点
一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点.
4.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且,设,它的解按照,,可分三种情况,相应地,二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根,()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集
()的解集
知识点05:解分式不等式
5.11、分式不等式
5.1定义:
与分式方程类似,分母中含有未知数的不等式称为分式不等式,如:形如或(其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
5.2分式不等式的解法
①移项化零:将分式不等式右边化为0:
②
③
④
⑤
03
03题型归纳
题型一作差法比较代数式的大小
例题1.(23-24高一上·浙江杭州·阶段练习)已知且,,则、的大小关系是(????)
A. B. C. D.不能确定
例题2.(23-24高一上·浙江·期中)设,,则有()
A. B. C. D.
例题3.(23-24高一上·新疆·阶段练习)(1)比较与的大小:
(2)已知,都是正实数,比较与的大小.
巩固训练
1.(23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习)设,则(????)
A. B.
C. D.P与Q的大小关系不确定
2.(23-24高一上·河南郑州·期中)设,,则a,b的大小关系为(????)
A. B. C. D.
3.(23-24高一上·河北石家庄·阶段练习)若,则A、B的大小关系为(????)
A. B. C. D.无法确定
题型二利用不等式求取值范围
例题1.(24-25高一上·全国·假期作业)已知,则的取值范围为(????)
A. B. C. D.
例题2.(23-24高一上·山东菏泽·阶段练习)已知,,则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
例题3.(24-25高一上·上海·假期作业)如果,则
(1)的取值范围是;(2)的取值范围是;
(3)的取值范围是;(4)的取值范围是.
巩固训练
1.(2024高三·全国·专题练习)已知,则下列结论正确的是(????)
A. B.
C. D.
2.(23-24高二下·山东青岛·期中)已知,则的取值范围是.
3.(2024高三下·全国·专题练习)已知,,则的取值范围为.
题型三利用基本不等式求积的最大值
例题1.(23-24高二下·浙江宁波·期末)已知正实数x,y满足,则xy的最大值为.
例题2.(23-24高一上·重庆·期中)已知,且满足,则的最大值为.
例题3.(23-24高一上·贵州黔西·阶段练习)已知实数,,且,则的最大值为.
巩固训练
1.(23-24高三上·河南·阶段练习)若,且,则的最大值为.
2.(24-25高一上·上海·假期作业)设,求二次函数的最大值.
3.(23-24高一上·江西宜春·阶段练习)利用基本不等式求下列式子的最值:
(1)若,求的最小值,并求此时x的值;
(2)已知x,y>0,且x+4y=1,求xy的最大值;
(3)若,求的最大值.
题型四利用基本不等式求和的最小值
例题1.(23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习)已知正实数a,b满足,则的最大值为(????)
A. B.1 C. D.
例题2.(23-24高二下·云南昆明·期中)已知,且,则的最小值为(????)
A. B. C. D.
例题3.(23-24高二下·黑龙江双鸭山·阶段练习)已知,且,则的最小值是
巩固训练
1.(2024高三·全国·专题练习)已知,,且,则的最小值是
2.(23-24高一下·上海黄浦·
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