第二章 一元二次函数、方程和不等式（13类题型清单）（解析版）【单元速记】-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）.docx

第二章一元二次函数、方程和不等式（题型清单）

01思维导图

01思维导图

02

02知识速记

知识点01：不等式的性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

（等价于）

传递性

（推出）

可加性

（等价于

可乘性

注意的符号（涉及分类讨论的思想）

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

，同为正数

可开方性

知识点02：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．

如果，有（当且仅当时，取“”号）

特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.

知识点03：基本不等式链

（其中，当且仅当时，取“”号）

知识点04：四个二次的关系

4.1一元二次函数的零点

一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．

4.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

判别式

二次函数(的图象

一元二次方程

()的根

有两个不相等的实数根，()

有两个相等的实数根

没有实数根

()的解集

()的解集

知识点05：解分式不等式

5.11、分式不等式

5.1定义：

与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。

5.2分式不等式的解法

①移项化零：将分式不等式右边化为0：

②

③

④

⑤

03

03题型归纳

题型一作差法比较代数式的大小

例题1．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（????）

A． B． C． D．不能确定

【答案】C

【分析】由作差法比较大小.

【详解】已知.则，

所以，

，因此，.

故选:C.

例题2．（23-24高一上·浙江·期中）设，，则有（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作差法即可比大小.

【详解】，

故，

故选：C.

例题3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）（1）比较与的大小：

（2）已知，都是正实数，比较与的大小．

【答案】（1）；（2）答案见解析

【分析】（1）（2）利用作差法即可得解.

【详解】（1），

故；

（2），

因为，，故，，

当时，，即；

当时，，即；

巩固训练

1．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）设，则（????）

A． B．

C． D．P与Q的大小关系不确定

【答案】A

【分析】作差，根据二次三项式的性质即可判断差的符号，从而得的大小.

【详解】因为

所以

故.

故选：A.

2．（23-24高一上·河南郑州·期中）设，，则a，b的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，利用作差比较法，即可求解.

【详解】由，，

可得，所以.

故选：C.

3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则A、B的大小关系为（????）

A． B． C． D．无法确定

【答案】B

【分析】利用作差法结合配方法比较大小.

【详解】因为，

所以.

故选：B.

题型二利用不等式求取值范围

例题1．（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解．

【详解】因为，所以，，

又，所以.

故选：D.

例题2．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围．

【详解】设，

所以，解得，即可得，

因为，，

所以，

故选：A．

例题3．（24-25高一上·上海·假期作业）如果，则

（1）的取值范围是；（2）的取值范围是；

（3）的取值范围是；（4）的取值范围是.

【答案】

【分析】根据，的范围，结合不等式的性质求出即可．

【详解】由①，②，

得：，,

由②得：③，

由①③得：，

由②得：④，

由①④得：．

故答案为：，，，

巩固训练

1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质逐项分析即得.

【详解】A：由，得，又，所以，A错误；

B：由，，所以，B错误；

C：由，则，又，所以，C正确；

D：因为，又，所以，∴D错误.

故选：C.

2．（23-24高二下·山东青岛·