备战中考数学-一元二次方程-培优练习(含答案)含答案.doc

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．

①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；

②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣﹣1，2）；②P（﹣，）

【解析】

试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为即可得到抛物线的解析式；

（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；

②，表示出来得到二次函数，求得最值即可．

试题解析：（1）∵抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为，∴，解得：，∴二次函数的解析式为=，∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令，解得或，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在上，∴设点P（x，），

①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即，解得x=（舍去）或x=，∴点P（，2）；

②设P(x，y)，则，∵

=OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD==

===，

∴当x=时，=，当x=时，=，此时P（，）．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．

2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

【解析】

【分析】

作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．

【详解】

解：

如图，

过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．

∵∠ABC＝30°，

∴2QE＝QB．

∴S△PQB＝?PB?QE．

设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，

则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．

根据题意，?（6﹣t）?t＝4．

t2﹣6t+8＝0．

t2＝2，t2＝4．

当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．

答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．

3．解方程：（2x+1）2=2x+1．

【答案】x=0或x=.

【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.

试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，

∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，

则x=0或2x+1=0，

解得：x=0或x=﹣．

4．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．

（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±，方程的另一个根是5．

【解析】

【分析】

（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；

（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.

【详解】

（1）证明：

∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，

∴x2﹣7x+12﹣m2=0，

∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，

∵m2≥0，

∴△＞0，

∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是2，

∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，

∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，

即m的值为±，方程的另一个根是5．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.

当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.

5．计算题?

（1）先化简，再求值：÷（1+），其中x=2017．

（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．

【答案】（1）2018；（2）m=4

【解析】

分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；

（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.

详