第二讲-导数的几何意义与切线解析版-2022-2023高二下学期人教A版.docxVIP

第二讲 导数的几何意义

问题层级图

目标层级图

课前检测（10mins）

1.求在点和过处的切线方程。

【解析】：

即过点的切线的斜率为4，故切线为：．

设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又

，

故，。

即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：

2.已知函数与函数的图象在点处有相同的切线，求的值;

【答案】

【解析】因为,所以

因为,所以

因为与的图象在处有相同的切线,所以,所以

课中讲解

导数的几何意义：

函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．

【注】曲线的切线的求法：求曲线经过点的切线，则需分点是切点和不是切点两种情况求解．

熟悉三句话：切点满足原函数方程，

切点处的导数值等于切线斜率，

切点满足切线方程。

经过定点的切线LV.4

会求切线

核心：找切点

题干出现在的切线，点即为切点，切线方程为

题干出现过的切线，点即为切点，需要分以下几步完成：

第一步：设切点，设出切点坐标；

第二步：写出过的切线方程为；

第三步：将点的坐标代入切线方程求出；

第四步：将的值代入方程，可得过点的切线方程．

切点已知问题（LV3）

例1.

已知函数，求曲线在点处的切线方程;

【答案】

【解析】

切线方程为

切线方程为

例2.

已知函数，若曲线在点处的切线方程为,则

【答案】或.

【解析】,

由题意,所以,

所以或.

例3．

函数,曲线在点处的切线方程为.则；

【解析】,

,

因为在处的切线方程为

所以,从而

例4．

设函数.若曲线在点处的切线与轴平行,则=_________;

【答案】

【解析】

因为在处的切线与轴平行,所以,,

经检验,时,切线与轴不重合.（注意需要考虑）

所以

例5．

已知函数,其中.曲线在处的切线与直线垂直,求=_______;

【答案】0

【解析】的导函数为

依题意,有,

解得.

例6．

已知函数.设为曲线在点处的切线,其中.直线的方程（用表示）为__________________;

设为原点,直线分别与直线和轴交于两点,的面积的最小值为______________.

【答案】，1

【解析】对求导数,得,所以切线的斜率为,

由此得切线的方程为:,

即.

依题意,切线方程中令,得.

所以,.所以,.

设,.

则.

令,得或.

,的变化情况如下表:

所以在单调递减;在单调递增,所以,

从而的面积的最小值为1.

例7．

（理科）设函数在区间内导数存在，且有以下数据：

1

2

3

4

2

3

4

1

3

4

2

1

3

1

4

2

2

4

1

3

则曲线在点处的切线方程是;函数在处的切线方程是．

【答案】，

【解析】，

所以切线方程为即

，，，令

则，又，则

所以，即.

例8.

设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，由于曲线在点处的切线倾斜角的取值范围为，所以其切线的斜率的范围为，根据导数的几何意义，得，即.故选A.

函数在某点处的导数、曲线在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.

例9.

正弦曲线上一点，以点为切点的切线，则直线的倾斜角的范围是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，其值域为以点为切点的切线的斜率的取值范围为，结合正切函数图像及直线倾斜角取值范围，可知答案为，故选A。

切点未知问题(LV4)

基础公式准备：

高次分解因式（大除法）

例1.

求曲线过点处的切线方程；

【解析】或

例2.

已知直线与函数的图象相切,则切点坐标为.

【答案】

【解析】本题考查导函数的几何意义.

设切点为

,切点坐标为.

例3.

曲线在点处的切线方程为_________；过点的切线方程为________

【答案】，或.

【解析】曲线在点处的切线的斜率为，切线方程为，即.设过点的切线的切点坐标为，则切线方程为，代入点得，，即

，得，解得或，所以切线方程为或，即或.

过关检测（10mins）

1.函数在点处的切线方程为_______________;

【答案】

【解析】，

，

在处切线过点，

∴切线方程为

2.已知函数则函数的图象在点处的切线方程为___________；

【答案】

3.已知函数在处的切线方程为,则实数=_______;

【答案】1

【解析】本题考查导数的应用，

由已知得

解得,

经检验符合题意.

4.已知函数，若曲线在点处的切线方程为,则_______;

【答案】2

【解析】

因为切线过原点,

所以

解得:

5.经过原点(0,0)作函数的图象的切线，则切线方程为______