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一元二次方程应用题的题型

一元二次方程的应用

（一）二次三项式的因式分解

（1）形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式．

（2）二次三项式因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

说明：(a)在此公式中x1、x2是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．

(b)任何二次三项式，当对应的一元二次方程△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．当△=0时，二次三项式ax2＋bx＋c是完全平方式．

(c)对于二次三项式的因式分解，能用前面学过的方法分解的，用前面学过的方法较简便．借助一元二次方程分解的，主要是指那些用前面学过的方法不能因式分解的二次三项式．

(3)因式分解二次三项式的步骤

(a)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．

(b)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)．

(4)难点/混淆点：

(a)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．

(b)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．

(c)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理．

(5)常见例题-4y2＋8y－1．

解：对应的方程为－4y2＋8y－1=0

根的判别式：△=8*8-4*（-4）*（-1）=48〉0

所以它有两个不等的实根。它的两根是：

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启示：(a)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；

(b)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化．

(6)拓展：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解这样的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，一般将其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，可看作关于x或y的二次三项式.

(7)综合题：

二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(a)在实数范围内能分解；(b)不能分解；(c)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？

解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k

(a)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式；

(b)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式；

(c)当△=0时，即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．

当时，

（二）列一元二次方程解应用题

（1）解应用题步骤即：

1．审题；

2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；

3．找等量关系列方程；

4．解方程；

5．判断解是否符合题意；

一元二次方程应用题的题型全文共2页，当前为第2页。6．写出正确的解

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（2）常见类型

1、传播问题

有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人

可传染人数共传染人数

第0轮1（传染源）1

第1轮xx+1

第2轮x(x+1)1+x+x(x+1)

列方程1+x+x(x+1)=121

解方程，得

X1=10，X2=-12

X2=-12不符合题意，

所以原方程的解是x=10

答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。

类似问题还有树枝开叉等。

2、循环问题

又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题

a．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？

c.一个正八边形，它有多少条对角线？

3、平均率问题

最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系：?

M=a(1±x)n?n为增长或降低次数??M为最后产量，a为基数，x为平均增长率?或降低率平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。

（a）平均增长率问题

某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司