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一元二次方程应用题的题型
一元二次方程的应用
(一)二次三项式的因式分解
(1)形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式.
(2)二次三项式因式分解的公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
说明:(a)在此公式中x1、x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根.
(b)任何二次三项式,当对应的一元二次方程△=b2-4ac≥0时,能分解因式;当△=b2-4ac<0时,不能分解因式.当△=0时,二次三项式ax2+bx+c是完全平方式.
(c)对于二次三项式的因式分解,能用前面学过的方法分解的,用前面学过的方法较简便.借助一元二次方程分解的,主要是指那些用前面学过的方法不能因式分解的二次三项式.
(3)因式分解二次三项式的步骤
(a)求二次三项式ax2+bx+c所对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1、x2.
(b)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
(4)难点/混淆点:
(a)在二次三项式的因式分解时,注意不要丢掉公式中的二次项系数a.
(b)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆.
(c)把x1、x2的值代入公式后,能化简整理的可以化简整理.
(5)常见例题-4y2+8y-1.
解:对应的方程为-4y2+8y-1=0
根的判别式:△=8*8-4*(-4)*(-1)=48〉0
所以它有两个不等的实根。它的两根是:
一元二次方程应用题的题型全文共1页,当前为第1页。
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启示:(a)解方程时,如果二次项系数是负数,一般可将其化为正数再解,这样可提高解方程的准确性,如解-4y2+8y-1=0可化为4x2-8y+1=0再解;
(b)把4分解为2×2,两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母,从而使分解式得到简化.
(6)拓展:形如Ax2+Bxy+Cy2的因式分解这样的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式,一般将其中一个变元作为未知数,另一个就看作已知数,这样一来,可看作关于x或y的二次三项式.
(7)综合题:
二次三项式3x2-4x+2k,当k取何值时,(a)在实数范围内能分解;(b)不能分解;(c)能分解成一个完全平方式,这个完全平方式是什么?
解:△=(-4)2-4×3×2k=16-24k
(a)当△≥0时,即16-24k≥0,时,二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内能分解因式;
(b)当△<0时,即16-24k<0,时,3x2-4x+2k不能分解因式;
(c)当△=0时,即16-24k=0,时,3x2-4x+2k是一个完全平方式.
当时,
(二)列一元二次方程解应用题
(1)解应用题步骤即:
1.审题;
2.设未知数,包括直接设未知数和间接设未知数两种;
3.找等量关系列方程;
4.解方程;
5.判断解是否符合题意;
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(2)常见类型
1、传播问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人
可传染人数共传染人数
第0轮1(传染源)1
第1轮xx+1
第2轮x(x+1)1+x+x(x+1)
列方程1+x+x(x+1)=121
解方程,得
X1=10,X2=-12
X2=-12不符合题意,
所以原方程的解是x=10
答:每轮传染中平均一个人传染了10个人。
类似问题还有树枝开叉等。
2、循环问题
又可分为单循环问题,双循环问题和复杂循环问题
a.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有多少个队参加比赛?
b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有多少个队参加比赛?
c.一个正八边形,它有多少条对角线?
3、平均率问题
最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系:?
M=a(1±x)n?n为增长或降低次数??M为最后产量,a为基数,x为平均增长率?或降低率平均率和时间相关,必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。
(a)平均增长率问题
某电脑公司2000年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司
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