均值不等式公式完全总结归纳(非常实用).docx

均值不等式归纳总结

1.(1)若a,b?R，则a2

a?b时取“=”）

b2

?2ab

若a,b?R，则ab?

a2?b2

2

（当且仅当

ab2.(1)若a,b?R*，则a?b?

ab

2

若a,b?R*，则a?b?2

（当且仅当a?b

ab时取“=”）

ab

? ?若a,b?R*，则ab??a?b?2 (当且仅当a?b时取“=”

? ?

? 2 ?

3.若x?0，则x?1

x

若x?0，则x?1

x

?2 (当且仅当x?1时取“=”）

??2 (当且仅当x??1时取“=”）

若x?0，则x?1

?2即x?1

?2或x?1?-2 (当且仅当a?b时取“=”）

x

若ab?0，则a b

x x

(当且仅当a?b时取“=”）

b?a?2

ab若ab?0，则

a

b

a b

ba?2即b?a?

b

a

a b

2或b?a?

-2 (当且仅当a?b时取“=”）

若a,b?R，则

a?b

(

2

)2?

a2?b2

2

（当且仅当a?b时取“=”）

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的

和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定

积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决

实际问题方面有广泛的应用』

应用一：求最值

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x2＋

1 1

y x（2）＝＋

y x

662x2 x

6

6

3x

3x2·

1

2x2

解：(1)y＝3x2＋ ≥2

＝ ∴值域为[

，+∞）

2x2

1

(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥2

x

1

x· ＝2；x

1 1

当x＜0时，y＝x＋ =－（－x－ ）≤－2

x x

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

1

x· =－2x

解题技巧

解题技巧

技巧一：凑项

技巧一：凑项

例 已知x?5，求函数y?4x?2?

4

1 的最大值。

4x?5

解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又(4x?2)

以对4x?2要进行拆、凑项，

1 不是常数，所

4x?5

x?5,?5?4x?0，?y?4x?2? 1

???5?4x?

1 ??3??2?3?1

??4 4x?5 ? 5?4x?

?

?

当且仅当5?4x?

1 ，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，y

5?4x

?1。

max

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数

技巧二：凑系数

定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8为定值，故只需将y?x(8?2x)凑上一个系数即可。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设0?x?

3，求函数y?4x(3?2x)的最大值。

2

解：∵0?x?

3∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?

?2x?3?2x?2?9

2 2? 2 ? 2

例1.当时，求

例1.当

时，求y?x(8?2x)的最大值。

解析：由

知，

，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为

当

，即x＝2时取等号

当x＝2时，y?x(8?2x)的最大值为8。

当且仅当2x?3?2x,即x?

? ?

? ?3??0,3?时等号成立。

? ?

4 ? 2?

技巧三：分离

技巧三：分离

例3.求y?

x2?7x?10(x??1)的值域。

x?1

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的

项，再将