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第22章二次函数全章复习与测试
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理(吃透教材)
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义;
2.会用描点法画出二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质;
3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导),并能解决简单的实际问题;
4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
一.二次函数的定义
(1)二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y═ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式.
判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为整式,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.
(2)二次函数的取值范围:一般情况下,二次函数中自变量的取值范围是全体实数,对实际问题,自变量的取值范围还需使实际问题有意义.
二.二次函数的图象
(1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法:
①列表:先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表.
②描点:在平面直角坐标系中描出表中的各点.
③连线:用平滑的曲线按顺序连接各点.
④在画抛物线时,取的点越密集,描出的图象就越精确,但取点多计算量就大,故一般在顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时,要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接起来.画抛物线y=ax2(a≠0)的图象时,还可以根据它的对称性,先用描点法描出抛物线的一侧,再利用对称性画另一侧.
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.
三.二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣,),对称轴直线x=﹣,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:
①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.
②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.
③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.
四.待定系数法求二次函数解析式
(1)二次函数的解析式有三种常见形式:
①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0);②顶点式:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标;③交点式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0);
(2)用待定系数法求二次函数的解析式.
在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.
五.抛物线与x轴的交点
求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.
(1)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系.
△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数.
△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;
△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;
△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
(2)二次函数的交点式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0),可直接得到抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0).
六.图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是:
(1)作出函数的图象,并由图象确定方程的解的个数;
(2)由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围;
(3)观察图象求得方程的根(由于作图或观察存在误差,由图象求得的根一般是近似的).
七.二次函数与不等式(
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