【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（人教版）第21讲重难点拓展：二次函数综合之三种线段问题（解析版讲义）.docxVIP

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第21讲重难点拓展：二次函数综合之三种线段问题

题型一：线段的数量关系题型二：线段最值问题

题型三：周长最值问题

一、线段的数量关系

此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；

二、线段最值问题

??此类问题通常有两类：

??①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；

?②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；

三、周长最值问题

?此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).

题型归纳

题型一：线段的数量关系

【例1】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知．

(1)求a，b的值；

(2)已知横坐标为t的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，

①若与的面积之和为8，求t的值；

②过点P作x轴的垂线，垂足为N，直线交线段于点D，是否存在这样的点P，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)①；②存在，且t的值为．

【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组即可得到结论；

（2）①由（1）知，抛物线的函数表达式为，求得点的坐标为，由题意知，，，当时，当时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；

②根据待定系数法求得直线的函数表达式为，由，得到点为线段的中点，求得点的横坐标为，得到，根据题意列方程即可得到结论．

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，线段中点的定义，三角形的面积公式，正确地求得二次函数的解析式是解题的关键．

【详解】（1）解：由题意得把代入

且结合对称轴

得，

解得；

∴；

（2）解：①由（1）知，抛物线的函数表达式为，

点的坐标为，

由题意知，，

当时，的面积，的面积，

此时与的面积之和为6，不符合题意；

当时，的面积，的面积；

与的面积之和为，此时，

解得；

综上，的值为；

②存在，点的横坐标为．理由如下：

，，

直线的函数表达式为，

，

点为线段的中点，

点的横坐标为，

点在直线上，

，

点的纵坐标为5，则，

解得或（不合题意，舍去），

存在，的值为．

【变式1-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C、顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)P是x轴上一动点，将顶点D绕点Р顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标；

(3)如图2、点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是、请说明理由．

【答案】(1)

(2)点的坐标为或

(3)直线经过定点

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；

（2）设,过点作轴于点,设抛物线的对称轴交轴于点，则,,设则,可证得,得出,,建立方程组求解即可求得答案；

(3)设运用待定系数法可得：直线的解析式为,直线的解析式为,直线的解析式为,令,则可得,

,根据题意推出,代入直线的解析式得,当时,,即直线经过定点.

【详解】（1）∵抛物线与轴交于点两点,

，

解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）设,过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，如图，

则

，

∴顶点,,

，

设则,

，

由旋转得：，

，

，

，

，

，

，

解得：，

∴点的坐标为或；

（3）直线经过定点，理由如下：

设，

设直线的解析式为则

，

解得：，

∴直线的解析式为，

同理可得：直线的解析式为

直线的解析式为

令则，

，

，

，

，

代入直线的解析式得

∵当时,，

∴直线经过定点．

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

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