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第19讲弧长和扇形面积(3个知识点+9个考点)
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理(吃透教材)
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
了解扇形的概念,理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式,并会计算弧长和扇形的面积。
了解圆锥母线的概念理解圆锥与其展开图的对应关系,并掌握圆锥侧面积和全面积的计算方法。
会利用平移及旋转求不规则图形的面积。
知识点1.弧长公式(重点)
(1)圆周长公式:C=2πR
(2)弧长公式:l=nπR180(弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为
①在弧长的计算公式中,n是表示1°的圆心角的倍数,n和180都不要带单位.
②若圆心角的单位不全是度,则需要先化为度后再计算弧长.
③题设未标明精确度的,可以将弧长用π表示.
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念,度数相等的弧,弧长不一定相等,弧长相等的弧不一定是等弧,只有在同圆或等圆中,才有等弧的概念,才是三者的统一.
知识点2.扇形的面积公式(重点)
(1)圆面积公式:S=πr2
(2)扇形:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
(3)扇形面积计算公式:设圆心角是n°,圆的半径为R的扇形面积为S,则
S扇形=n360πR2或S扇形=12
(4)求阴影面积常用的方法:
①直接用公式法;
②和差法;
③割补法.
(5)求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.
知识点3.圆锥的侧面积和全面积(难点)
圆锥的侧面积:S侧=12?2πr?l=π
圆锥的全面积:S全=S底+S侧=πr2+πrl
考点1.求弧长
【例1-1】在半径为1cm的圆中,圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.
解析:根据弧长公式l=eq\f(nπr,180),这里r=1,n=120,将相关数据代入弧长公式求解.即l=eq\f(120·π·1,180)=eq\f(2,3)π.
方法总结:半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l=eq\f(nπR,180),要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义.
【例1-2】如图,⊙O的半径为6cm,直线AB是⊙O的切线,切点为点B,弦BC∥AO.若∠A=30°,则劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为________cm.
解析:连接OB、OC,∵AB是⊙O的切线,∴AB⊥BO.∵∠A=30°,∴∠AOB=60°.∵BC∥AO,∴∠OBC=∠AOB=60°.在等腰△OBC中,∠BOC=180°-2∠OBC=180°-2×60°=60°.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为eq\f(60×π×6,180)=2π.
方法总结:根据弧长公式l=eq\f(nπR,180),求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R和它所对的圆心角n的大小.
【变式1-1】(2024?清城区一模)如图,的半径为2,四边形是圆内接四边形,,则的长为
A. B. C. D.
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出,再根据圆周角定理得,再代入弧长公式计算即可.
【解答】解:,
,
,
的长为:.
故选:.
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质,圆周角定理和弧长公式,熟练掌握圆内接四边形的性质,圆周角定理和弧长公式是解题的关键.
【变式1-2】(2024?福田区三模)为纪念北京奥运会成功举办,国务院批准从2009年起,将每年8月8日设置为“全民健身日”.因为为了认真发展体育运动,增强人民体质,贯彻执行《中华人民共和国体育法》,网上各种健身项目层出不穷.如图是侧抬腿运动,可以保证全身得到锻炼已知小敏大腿根部距脚尖,即,当其完成图中一次动作时,脚尖划过的轨迹长度为.
A. B. C. D.
【分析】根据弧长公式,代入数据计算即可.
【解答】解;根据弧长公式,,代入公式得:
.
故选:.
【点评】本题考查了弧长计算,熟练掌握弧长公式是关键.
【变式1-3】(2024?广安)如图,在等腰三角形中,,,以为直径作半圆,与,分别相交于点,,则的长度为
A. B. C. D.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得的度数,证明,再由,再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得的度数,利用弧长公式即可求解.
【解答】解:连接,,
,
,
,
,
,
,
在中,,
,,
,
,
的长度为,
故选:.
【点评】本题考查了弧长的求解,得到圆心角和半径是解题的关键.
【变式1-4】(2024?瑶海区校级模拟)如图,四边形内接于圆,,,,则的长度为
A. B. C. D.
【分析】根据圆内接四边形对角和为180度可得,进而可得弧:弧,即可求解.
【解答】解:弧,弧,
圆的周长,
四边形内接于圆,
,
,
,
,
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