【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（人教版）第19讲 弧长和扇形面积（3个知识点+9个考点）解析版讲义.docxVIP

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第19讲弧长和扇形面积（3个知识点+9个考点）

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并会计算弧长和扇形的面积。

了解圆锥母线的概念理解圆锥与其展开图的对应关系，并掌握圆锥侧面积和全面积的计算方法。

会利用平移及旋转求不规则图形的面积。

知识点1.弧长公式（重点）

（1）圆周长公式：C＝2πR

（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为

①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．

②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．

③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．

④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．

知识点2.扇形的面积公式（重点）

（1）圆面积公式：S＝πr2

（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．

（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则

S扇形=n360πR2或S扇形=12

（4）求阴影面积常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割补法．

（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．

知识点3.圆锥的侧面积和全面积（难点）

圆锥的侧面积：S侧=12?2πr?l＝π

圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl

考点1.求弧长

【例1-1】在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.

解析：根据弧长公式l＝eq\f(nπr,180)，这里r＝1，n＝120，将相关数据代入弧长公式求解．即l＝eq\f(120·π·1,180)＝eq\f(2,3)π.

方法总结：半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝eq\f(nπR,180)，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义．

【例1-2】如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为________cm.

解析：连接OB、OC，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为eq\f(60×π×6,180)＝2π.

方法总结：根据弧长公式l＝eq\f(nπR,180)，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R和它所对的圆心角n的大小．

【变式1-1】（2024?清城区一模）如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为

A． B． C． D．

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得，再代入弧长公式计算即可．

【解答】解：，

，

，

的长为：．

故选：．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式是解题的关键．

【变式1-2】（2024?福田区三模）为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为．

A． B． C． D．

【分析】根据弧长公式，代入数据计算即可．

【解答】解；根据弧长公式，，代入公式得：

．

故选：．

【点评】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是关键．

【变式1-3】（2024?广安）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为

A． B． C． D．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得的度数，证明，再由，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得的度数，利用弧长公式即可求解．

【解答】解：连接，，

，

，

，

，

，

，

在中，，

，，

，

，

的长度为，

故选：．

【点评】本题考查了弧长的求解，得到圆心角和半径是解题的关键．

【变式1-4】（2024?瑶海区校级模拟）如图，四边形内接于圆，，，，则的长度为

A． B． C． D．

【分析】根据圆内接四边形对角和为180度可得，进而可得弧：弧，即可求解．

【解答】解：弧，弧，

圆的周长，

四边形内接于圆，

，

，

，

，