备战中考数学一元二次方程-经典压轴题附答案.doc

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x的二次函数的图象与x轴有2个交点.

（1）求k的取值范围；

（2）若图象与x轴交点的横坐标为，且它们的倒数之和是，求k的值.

【答案】（1）k＜-；（2）k=﹣1

【解析】

试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△=b2-4ac的范围可求解出k的值；

（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k的值.

试题解析：（1）∵二次函数y=x2-（2k-1）x+k2+1的图象与x轴有两交点，

∴当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根．

∴△=b2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+1）＞0．

解得k＜-；

（2）当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0．

则x1+x2=2k-1，x1?x2=k2+1，

∵===，

解得：k=-1或k=（舍去），

∴k=﹣1

2．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．

涵涵的作业

解：x2﹣7x+10=0

a=1b=﹣7c=10

∵b2﹣4ac=9＞0

∴x==

∴x1=5，x2=2

所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．

当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．

探究应用：请解答以下问题：

已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．

（1）当m=2时，求△ABC的周长；

（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．

【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为；（2）当△ABC为等边三角形时，m的值为1．

【解析】

【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．

（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1，可求得m.

【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．

错误原因：此时不能构成三角形．

（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+=0，

∴x1=，x2=．

当为腰时，+，

∴、、不能构成三角形；

当为腰时，等腰三角形的三边为、、，

此时周长为++=．

答：当m=2时，△ABC的周长为．

（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，

∴△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1=0，

∴m1=m2=1．

答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．

【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.

3．已知关于x的一元二次方程（m为常数）

（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

【答案】(1)见解析；

(2)即m的值为0，方程的另一个根为0.

【解析】

【分析】

（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2?4×1?m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=,2t=m,最终解出关于t和m的方程组即可.

【详解】

(1)证明：

△=(m+2)2?4×1?m=m2+4，

∵无论m为何值时m2≥0，

∴m2+4≥4＞0，

即△＞0，

所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.

(2)设方程的另一个根为t，

根据题意得2+t=,2t=m，

解得t=0，

所以m=0，

即m的值为0，方程的另一个根为0.

【点睛】

本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.

4．已知两条线段长分别是一元二次方程的两根，

（1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。

（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。

【答案】（1）2和6；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是和，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可.

【详解】

解：（1）由题意得，

即：或，

∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为