【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（人教版）第10讲 拓展专题：“截长补短模型”证明三角形全等（原卷版讲义）.docxVIP

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第10讲拓展专题：“截长补短模型”证明三角形全等

截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段

在线段上截取

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等

延长，使得

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：

截长法：

⑴过某一点作长边的垂线；

⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法：

⑴延长短边。

⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。

1．模型分析

当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．

问题：

如图，在中，平分交于点，且，求证：．

截长法：

在上截取，连接，证明即可．

补短法：

延长至点，使，连接，证明即可．

请结合右边的证明结论．求证：．

请结合右边的【模型分析】证明结论．

求证：．

【截长法】

【补短法】

【分析】【截长法】在上截取，连接，证明，得到，再证明即可．

【补短法】延长到，使，连接，可得，由“”可证，可得，可得结论．

【解答】证明：【截长法】

在上截取，连接，

平分，

，

在和中，

，

，

，，又，

，

而，

，

，

．

证明：【补短法】

延长到，使，连接，

，

，

，且，

，且，，

，

．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．

题型归纳

【例1】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．

如图，在中，，于D，求证：．

【例2】（2022秋?盱眙县期中）【初步探索】

（1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系；

【灵活运用】

（2）如图2，为等边三角形，直线，为边上一点，交直线于点，且．求证：；

【延伸拓展】

（3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系．

【例3】．（2021秋?五峰县期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等．

这两种方法统称截长补短法．

请用这两种方法分别解决下列问题：

已知，如图，在中，，，为上任一点，

求证：．

【例4】．（2023秋?平桥区期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：．

（1）为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；

（2）如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长．

【例5】．（2021秋?泊头市期中）阅读在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．

应用把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、．

（1）若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；

（2）当时，、、三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）

（3）如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？证明你的结论．

【例6】．（2023秋?建昌县期末）【问题初探】

（1）如图1，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．甲同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明，再证，请你根据甲同学的解题思路直接写出，，装之间的数量关系．

【类比分析】

像（1）题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方法——截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度．请你用这种方法解答（2）．

（2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．

【学以致用】

（3）如图