2024全国卷真题分类汇编（教师版） 函数与导数.docxVIP

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9.函数与导数

1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知，则（????）

A． B． C． D．

【详解】因为，所以，

而，所以，

故即，

从而，故，

故选：A.

2．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（????）

A． B． C． D．

【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，

则需满足，解得，

即a的范围是.

故选：B.

3．（2024年新课标全国Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（????）

A．3 B．4 C．6 D．8

【详解】因为函数的的最小正周期为，

函数的最小正周期为，

所以在上函数有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：

由图可知，两函数图象有6个交点.

故选：C

4．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（????）

A． B．

C． D．

【详解】因为当时，所以，

又因为，

则，

，

，

，

，则依次下去可知，则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

5.（2024年新课标全国Ⅰ卷）设函数，则（????）

A．是的极小值点 B．当时，

C．当时， D．当时，

【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，

易知当时，，当或时，

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；

对B，当时，，所以，

而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；

对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，

所以，即，正确；

对D，当时，，

所以，正确；

故选：ACD.

6．（2024年新课标全国Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.

【详解】由得，，

故曲线在处的切线方程为；

由得，

设切线与曲线相切的切点为，

由两曲线有公切线得，解得，则切点为，

切线方程为，

根据两切线重合,所以，解得.

故答案为：

7．（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（????）

A． B． C．1 D．2

【详解】解法一：令，即，可得，

令，

原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，

注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得，即，解得，

若，令，可得

因为，则，当且仅当时，等号成立，

可得，当且仅当时，等号成立，

则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，

所以符合题意；

综上所述：.

解法二：令，

原题意等价于有且仅有一个零点，

因为，

则为偶函数，

根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，

即，解得，

若，则，

又因为当且仅当时，等号成立，

可得，当且仅当时，等号成立，

即有且仅有一个零点0，所以符合题意；

故选：D.

8．（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．1

【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，

令解得；令解得；

若，当时，可知，

此时，不合题意；

若，当时，可知，

此时，不合题意；

若，当时，可知，此时；

当时，可知，此时；

可知若，符合题意；

若，当时，可知，

此时，不合题意；

综上所述：，即，

则，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为；

解法二：由题意可知：的定义域为，

令解得；令解得；

则当时，，故，所以；

时，，故，所以；

故，则，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：C.

9．（2024年新课标全国Ⅱ卷）对于函数和，下列正确的有（????）

A．与有相同零点 B．与有相同最大值

C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴

【详解】A选项，令，解得，即为零点，

令，解得，即为零点，

显然零点不同，A选项错误；

B选项，显然，B选项正确；

C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，

的对称轴满足，

显然图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

10．（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数，则（????）

A．当时，有三个零点

B．当时，是的极大值点

C．存在a，b，使得为曲线的对称轴

D．存在a，使得点为曲线的对称中心

【详解】A选项，，由于，

故时，故在上单调递增，

时，，单调递减，

则在处取到极大值，在处取到极小值，

由，，则，

根据零点存在定理在上有一个零点，

又，，则，

则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；

B选项，，时，，单调递减，

时，单调递增，

此时在处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，

即存在这样的使得，

即，

根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，

于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的