第二章 直线和圆的方程（压轴题专练）（解析版）-【单元速记】2024-2025学年高二数学单元速记（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

第二章直线和圆的方程（压轴题专练）

01

01单选压轴题

1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）设，已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最大值为（????）

A． B．6 C． D．

【答案】C

【分析】设，可得出，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出，利用圆的几何性质求得的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最小值.

【详解】设，则，

由切线长定理可得，，，

??

，

圆心的坐标为，则，

由图可得，即，则，

由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，

所以，当时，取得最小值.

故选：.

【点睛】方法点睛：应用角的三角函数转化数量积，再双勾函数单调性得出平面向量数量积的最值.

2．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为（????）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】由题意，分别求出直线过点以及与劣弧相切时的值，再结合图形，即可得.

【详解】因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点，

所以，，当直线过时，将代入中，

所以，由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上，

设为，则，所以，

解得，且劣弧对应的圆的半径为，

故劣弧对应的圆方程为，

当直线与劣弧相切时得，

所以，

结合图形可知当时直线与两段弧有个交点.

故选：B.

关键点点睛：本题关键在于求出直线过点以及与劣弧相切时的值.

3．（2024·广西南宁·二模）已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.

【详解】由，得，由，得，

由，得，设，则，

即，因此点C的轨迹为一动圆，

设该动圆圆心为，即有，则代入，

整理得：，即C轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外），

点与圆上点连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，

所以最大值为.

故选：B

??

【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心距离加或减圆半径求解.

4．（23-24高二上·福建南平·期末）若圆与圆外切，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意外切条件等价于，进一步求圆弧上一点到定点的距离的范围即可求解.

【详解】两圆的方程分别为和，故外切条件等价于和之间的距离为，即.

记，，则点在轨迹上，所求的即为的取值范围.

由于，故，

且

，

同时，上面的上界和下界分别在和时取到.

而是在一个连续的圆弧上，故上的值都可以取到，所以取值范围是.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为求圆弧上的点到定点的距离，由此即可顺利得解.

5．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由、可得，且过定点，过定点，则可得点在以为直径的圆上，则的最大值为.

【详解】由、，

有，故，

对有，故过定点，

对有，故过定点，

则中点为，即，

，则，

故点在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为，

又在原，该圆圆心为，半径为，

又，则.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线、的方程得到，且过定点，过定点，从而确定点的轨迹为以为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题.

6．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知圆上两点满足，则的最小值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由发现，又的几何意义是两点到直线的距离之和的倍，进而利用数形结合即可求解.

【详解】由得，即，则.

因为，

所以，由点到直线的距离公式可知表示两点到直线的距离之和的倍，如图所示：

??

设的中点分别为，易知，由梯形的中位线可得，

则，即点到直线的距离之和的4倍，

因为是直角三角形，所以，

则点在圆上运动，

显然，最小值为原点到直线距离与圆半径之差的4倍，

原点到直线距离，半径，

所以的最小值为.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将转化为两点到直线的距离之和的倍，从而得解.

7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（????）

A． B． C． D．5

【答案】D

【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由求目标函数最小值.

【详解】由已知表示点到点的距离，

表示点到点的距离，

所以，

过点作，垂足为，

因为直线的方程为，，

所以，

又直线