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平 面 向 量 知 识 点 小 结 及 常 用 解 题 方 法
一、平面向量两个定理
1.平面向量的基本定理 2.共线向量定理。二、平面向量的数量积
向量b在向量a上的投影:|b|cos?,它是一个实数,但不一定大于0.
a?b的几何意义:数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积.
三坐标运算:设a?(x,y),b?(x,y
),则
1 1 2 2
(1)向量的加减法运算:a?b?(x?x,y?y),a?b?(x
1 2 1 2 1
x,y
2 1
?y).
2
(2)实数与向量的积:?a??(x,y)?(?x,?y).
1 1 1 1
若A(x,y),B(x,y),则AB?(x?x,y ?y),即一个向量的坐标等于表示这个向量的
1 1 2 2 2 1 2 1
有向线段的终点坐标减去起点坐标.
平面向量数量积:a?b?xx
yy
.(5)向量的模:a2?|a|2?x2?y2?|a|? x2?y2.
四、向量平行(共线)的充要条件
12 12
a//b?a??b(b?0)?(a?b)2?(|a||b|)2?xy
12
yx
12
?0.
五、向量垂直的充要条件
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|?xx
12
yy
12
?0.
六. xx
yy
a?(x,y),b?(x,y)cos a,b ?
1 1 2 2
12 12
x2?y2. x2?y2
七、向量中一些常用的结论
三角形重心公式
在△ABC中,若A(x,y),B(x
1 1 2 2
,y),C(x,y),则重心坐标为
?x?x
?y?y .
1 1 2 2 3 3
G(1 2
3, 1 2 3)
3 3
三角形“三心”的向量表示
GA?GB?GC?0?G为△ABC的重心.
PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为△ABC的垂心.
|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P为△ABC的内心;
向量PA,PB,PC中三终点A,B,C共线?存在实数?,?,使得PA??PB??PC且????1.
在△ABC中若D为BC边中点则AD?1(AB?AC)
2
与AB共线的单位向量是?AB
|AB|
七.向量问题中常用的方法
(一)基本结论的应用
设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,BC2?16?,AB?AC???AB?AC??则?AM??
(A)8 (B)4 (C)2 (D)1
已知?ABC和点M满足M???A?M???B+M???C?0.若存在实数m使得A???B?A???C?mA??M?
A.2 B.3 C.4 D.5
成立,则m=
设a、b都是非零向量,下列四个条件中,能使a ? b 成立的条件是( )
|a| |b|
A、a??b B、a//b C、a?2b D、a//b且|a|?|b|
已知点A?1,3?,B?4,?1?,则与向量AB同方向的单位向量为
平面向量a?(1,2),b?(4,2),c?ma?b(m?R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则
m?( )A、?2 B、?1 C、1 D、2
?ABC中AN?1NC,P是BN上一点若AP?
2AC?mAB则m=
3 11
7.o为?ABC平面内一点,若oA2?BC2
?oB2?CA2
?oC2
AB2则o是?ABC 心
8.(2017课标I理)已知向量a,b的夹角为600,a?2,b?1,则a?2b? .
(二)利用投影定义
如图,在ΔABC中,AD?
AB,BC? 3BD,AD?1,则
AC?AD
= (A)2
2
3
333 (D
3
3
310.已知点A??1,1?.B?1,2?.C??2,?1?.D?3,4?,则向量AB在CD方向上的投影为
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