期中难点特训（一）勾股定理与等腰（边）结合的压轴题（解析版）.pdfVIP

期中难点特训（一）勾股定理与等腰（边）结合的压轴题

1．(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？试证明你的结论”

老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答

小明：AB=2BC．

证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．

∴∠ACD=∠ACB=90°，

∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D在一条直线上．（请在下面补全小华后

面的证明过程）

(2)2△ABC1“ACB=90°”“ACB=135°”“

【变式拓展】如图，在中，把（）中条件∠改为∠，保持∠

BAC=30°”不变，则AB2=BC2．

(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．

如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，探求AD、

DB、BC三者之间的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)2

(3)BD2+BC2=AD2，理由见解析

【分析】（1）根据翻折的性质得出点B、C、D共线，再由等边三角形的判定和性质即可证明；

（2）把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，根据翻折的性质得出∆ABD为等边三角形，由题意确定

∠BCD=90°，运用勾股定理即可得出结论；

（3）把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，由翻折及各角之间的关系得出△AEC为等

边三角形，再由勾股定理及等量代换即可得出结论．

（1）

证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．

∴∠ACD=∠ACB=90°，

∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D共线，

∴AB=AD，

∵∠BAC=30°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=BD=2BC；

（2）

如图所示，把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，

由翻折得：AD=AB，

∠CAD=∠CAB=30°，BC=CD，

∴∠BAD=60°，

∴∆ABD为等边三角形，

∴AB=BD，

∵∠ACB=∠ACD=135°，

∴∠BCD=90°，

2222

\BD=BC+CD=2BC，

即AB2=2BC2；

（3）

222

BD+BC=AD；

理由：把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，

∵∠BAD=∠CAD=20°，

∴∠EAB=20°，

∴∠EAC=60°，

∵∠ACB+∠ADB=210°，∠AEB=∠ADB，

∴∠ACB=∠AEB=210°，

∴∠EBC=360°-210°-60°=90°，

∵AD=AC，AE=AD，

∴AE=AC，

∴△AEC为等边三角形，

∴EC=AE=AD，

在Rt△EBC中，

222

BE+BC=EC，

∵BC=BD，EC=AD，

∴BD2+BC2=AD2．

【点睛】题目主要考查三角形翻折的性质，勾股定理解三角形，三角形内角和定理及等边三角形的

判定和性质，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键．

2．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速

度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．

（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．

（2）当射线PE与边AB交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所

有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．

1t=1s2t=0.9st=5s.

【答案】（）；（）存在，