新教材2025版高中数学课时作业19三角恒等变换的应用新人教B版必修第三册.docVIP

课时作业(十九)三角恒等变换的应用

一、选择题

1．若α∈[eq\f(7π,4)，2π]，则eq\r(\f(1＋cos2α,2))－eq\r(\f(1－cos2α,2))等于()

A．cosα－sinα B．cosα＋sinα

C．－cosα＋sinα D．－cosα－sinα

2．已知α∈(0，π)，sin(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(3,5)，则cos2α＝()

A．eq\f(24,25) B．－eq\f(16,25)

C．－eq\f(24,25) D．eq\f(13,25)

3．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，则△ABC是()

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．不等边三角形 D．直角三角形

4．已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈(eq\f(3π,2)，2π)，则sineq\f(α,2)＝()

A．－eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(10),10)

C．eq\f(3\r(10),10) D．－eq\f(3,5)

二、填空题

5．函数y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x的最小正周期为________.

6．已知450°α540°，则eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α))的值是________．

7．函数y＝cosx＋cos(x＋eq\f(π,3))的最大值是________.

三、解答题

8．已知函数f(x)＝2cos2eq\f(x,2)，g(x)＝(sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2))2.

(1)求证：f(eq\f(π,2)－x)＝g(x)；

(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．

9．在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范围．

[尖子生题库]

10．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin(2ωx－eq\f(π,6))＋a(其中ω0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq\f(π,6).

(1)求ω的值；

(2)设f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上的最小值为eq\r(3)，求a的值．

课时作业(十九)三角恒等变换的应用

1．解析：因为α∈[eq\f(7π,4)，2π]，

所以sinα0，cosα0，

则eq\r(\f(1＋cos2α,2))－eq\r(\f(1－cos2α,2))＝eq\r(cos2α)－eq\r(sin2α)

＝|cosα|－|sinα|＝cosα－(－sinα)＝cosα＋sinα.

答案：B

2．解析：因为α∈(0，π)，eq\f(π,4)－α∈(－eq\f(3,4)π，eq\f(π,4))，sin(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(3,5)0，

所以eq\f(π,4)－α∈(0，eq\f(π,4))，cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(4,5)，

cos2α＝cos[2(eq\f(π,4)－α)－eq\f(π,2)]＝sin[2(eq\f(π,4)－α)]

＝2sin(eq\f(π,4)－α)cos(eq\f(π,4)－α)＝2×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(24,25).

答案：A

3．解析：由sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，得eq\f(1,2)cos(A－B)－eq\f(1,2)cos(A＋B)＝eq\f(1＋cosC,2)，

∴eq\f(1,2)cos(A－B)＋eq\f(1,2)cosC＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cosC，

即cos(A－B)＝1，

∴A－B＝0，即A＝B.

∴△ABC是等腰三角形．

答案：B

4．解析：∵cosα＝eq\f(4,5)，∴sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)＝eq\f(1,10).

又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，

∴sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(10),10).

答案：B