第18讲 圆与圆的位置关系4种常见考法归类（（学生版）).docx

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第18讲圆与圆的位置关系4种常见考法归类

1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.

知识点1圆与圆的位置关系

1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．

2．判定方法

(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

图示

d与r1，r2的关系

d＞r1＋r2

d＝r1＋r2

|r1－r2|＜d＜r1＋r2

d＝|r1－r2|

d＜|r1－r2|

(2)代数法：设两圆的一般方程为

C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F10)，

C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F20)，

联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：

方程组解的个数

2组

1组

0组

两圆的公共点个数

2个

1个

0个

两圆的位置关系

相交

内切或外切

外离或内含

注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；

(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；

(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．

(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．

知识点2圆与圆位置关系的应用

设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①

圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②

若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得

(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③

方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．

(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．

(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．

(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．

两圆公共弦长的求法

两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq\f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．

知识点3圆与圆的公切线

1、公切线的条数

与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．

两圆外离

两圆外切

两圆相交

两圆内切

两圆内含

有2条外公切线和2条内公切线，共4条

有2条外公切线和1条内公切线，共3条；

只有2条外公切线

只有1条外公切线

无公切线

2、公切线的方程

核心技巧：利用圆心到切线的距离求解

知识点4圆系方程

(1)以为圆心的同心圆圆系方程：；

(2)与圆同心圆的圆系方程为；

(3)过直线??????????????????????????.????????3\?????????????????????????????????????????????????.????????3??????????????????????????.????????3??????????????????????????.????????3与圆

4过两圆，圆：交点的圆系方程为

（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.

两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.

1、判断两圆的位置关系的两种方法

(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．

(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．

2、圆系方程

一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．

3、两圆相交时，公共弦所在的直线方程

若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.