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第9讲平面图形的计算
知识概述
前面我们学习了长方形、正方形的图形特征和性质,初步掌握了长方形和正方形的周长和面积
的计算方法。当增加了三角形、平行四边形和梯形等平面图形之后,平面图形的种类及解题方
法也变得更为丰富。
这一讲,我们专门讨论与图形有关的长度和周长问题,这些问题常用公式计算、等量代换、添
加辅助线等方法加以解决。
例题精学
例1在一张纸上画出由4个边长为3厘米的正方形拼凑或组合成的图形(重叠的线段只算画
一次)。显然,这个图形有多种多样的画法,下列各图是其中的一部分画法。
(1)在所有的这些画法中,哪种画法的周长总长最长?有多长?
(2)在所有的这些画法中,哪种画法的周长最短?有多长?
解图①中重叠的线段最少,线段总长3x4x4=48(厘米)
图⑤中重叠的线段最多,周长(3+3)x4=24(厘米)
答:图①画法周长总长最长,是48厘米;图⑤画法周长最短,是24厘米。
【思路点拨】周长是图形一周线段的长度之和,只要分别求出每个图形的周长就可以了。通过
计算来比较周长的大小,这是常用的一种思考方法。图3不能直接计算出它的周长。这个方法
行不通,得换一种方法来思考。因为所画的线段中,正方形与正方形之间的线段重叠部分越少,
周长越长。反之重叠部分越多,周长就越短。运用重叠的计数方法比直接计算后比较更简单一
些。
例题精学
例2右图是由一根铁丝围成的。已知两条相邻平行线之间的距离均为1厘米,求铁丝的总长
度。
解3x4+5x4+7x4+1x3=(3+5+7)x4+1x3=63(厘米)。
答:铁丝的总长度是63厘米。
【思路点拨】这个图形是不规则的图形,要求出铁丝的总长度,必须转化为规则的图形才行。
仔细观察这个图形,发现这个图形的每个角都是直角,可以将其转化成3个边长分别3、5、7
厘米的正方形和一个三边图形,如下图:
例题精学
例3如图,BCEF是平行四边形,三角形ABC是一个直角三角形,BC长8厘米,AC长7厘米,
阴影部分面积比三角形ADH的面积大12平方厘米,求HC的长度。
解8x7÷2=28(平方厘米)三角形ABC的面积
(28+12)÷8=5(厘米)HC的长度
答:HC的长度是5厘米
【思路点拨】HC是平行四边形BCEF的高,要求HC的长度,必须知道平行四边形BCEF的面积。
题中告诉我们“阴影部分面积比三角形ADH的面积大12平方厘米”,可以知道平行四边形BCEF
的面积比直角三角形ABC大的面积。将阴影部分和三角形ADH分别加上梯形DHCB,就变成平
行四边形的面积比直角三角形ABC多12平方厘米。同加上一个数量,两个数的差仍保持不变。
现在只要算出三角形ABC面积就可以求出平行四边形的高HC的长度。
例题精学
例4如图,10个相同的小长方形拼成一个面积为120平方厘米的大长方形,求这个大长方
形的周长。
解120÷10=12(平方厘米)
12=12x1()
=6x2()
=4x3()
即小长方形长4厘米,宽3厘米。
大长方形的周长为:(4x3+3x2+4)×2=44(厘米)
答:大长方形的周长为44厘米。
【思路点拨】要求出大长方形的周长,必须先求出大长方形的长和宽各是多少厘米。先看图中
每个小长方形的面积是120÷10=12(平方厘米),观察发现每个小长方形的3个“长”相当于4
个“宽”,可以从12的因数中找出符合要求的小长方形的长和宽。
例题精学
例5如图所示,在腰长为10厘米,面积为34平方厘米的等腰三角形底边上任意取一点,设
这个点到两腰的垂线段的长分别为a厘米和b厘米,那么,a+b的长度之和是多少厘米?
解ax10÷2+bx10÷2=34;
(a+b)x10÷2=34;
(a+b)x5=34
a+b=6.8
答:a与b的和为6.8厘米。
【思路点拨】因为底边上的点是任意取的所以,a和b的长度都不确定无法直接求出a+b的和。
可以在底边上取的点和顶点之间添加一条辅助线,如下图,这个等腰三角形便被分了两部分。
等腰三角形的面积是34平方厘米这个条件必须要用上。左边三角形和右边三角形的面积之和
是34平方厘米。可以用算式来表示这种关系,即ax10÷2+bx10÷2=34。
同步精练
1.求平行
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