类型一--因动点产生的相似三角形问题-2.doc

类型一因动点产生的相似三角形问题

例12013年上海市中考第24题

如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx〔a＞0〕经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

〔1〕求这条抛物线的表达式；

〔2〕连结OM，求∠AOM的大小；

〔3〕如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

〔1〕如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．

在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，

所以AH＝1，OH＝．所以A．

因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，

设y＝ax(x－2)，代入点A，可得．图2

所以抛物线的表达式为．

〔2〕由，

得抛物线的顶点M的坐标为．所以．

所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．

〔3〕由A、B(2,0)、M，

得，，．

所以∠ABO＝30°，．

因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．

△ABC与△AOM相似，存在两种情况：

①如图3，当时，．此时C(4,0)．

②如图4，当时，．此时C(8,0)．

图3图4

例22009年临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A(4，0)、B〔1，0)、C〔0，－2〕三点．

〔1〕求此抛物线的解析式；

〔2〕P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？假设存在，请求出符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由；

〔3〕在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

,

〔1〕因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B〔1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的坐标〔0，－2〕，解得．所以抛物线的解析式为．

〔2〕设点P的坐标为．

①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．

如果，那么．解得不合题意．

如果，那么．解得．

此时点P的坐标为〔2，1〕．

②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．

解方程，得．此时点P的坐标为．

解方程，得不合题意．

③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．

解方程，得．此时点P的坐标为．

解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．

综上所述，符合条件的点P的坐标为〔2，1〕或或．

图2图3图4

〔3〕如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．

设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．

因此．

当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为〔2，1〕．

图5图6

2012年烟台市中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

〔1〕直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

〔2〕过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

〔3〕在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内〔包括边界〕存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

〔1〕A(1,4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，

代入点C(3,0)，可得a＝－1．

所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．

〔2〕因为PE//BC，所以．因此．

所以点E的横坐标为．

将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．

所以点G的纵坐标为．于是得到．

因此．

所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．

〔3〕或．

点伸展

第〔3〕题的解题思路是这样的：

因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．

再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．

，，，．

如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．

整理，得．解得，〔舍去〕．

如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．

整理，得．．所以，〔舍去〕．

图2