期中难点特训（一）勾股定理与等腰（边）结合的压轴题（原卷版）.pdfVIP

期中难点特训（一）勾股定理与等腰（边）结合的压轴题

1．(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？试证明你的结论”

老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答

小明：AB=2BC．

证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．

∴∠ACD=∠ACB=90°，

∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D在一条直线上．（请在下面补全小华后

面的证明过程）

(2)2△ABC1“ACB=90°”“ACB=135°”“

【变式拓展】如图，在中，把（）中条件∠改为∠，保持∠

BAC=30°”不变，则AB2=BC2．

(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．

如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，探求AD、

DB、BC三者之间的数量关系，并说明理由．

2．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速

度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．

（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．

（2）当射线PE与边AB交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所

有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．

3VABCP.

．背景资料：在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小这个

1640“

问题是法国数学家费马年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为费马

”1VABC120°PVABC

点．如图，当三个内角均小于时，费马点在内部，当

ÐAPB=ÐAPC=ÐCPB=120°时，则PA+PB+PC取得最小值．

(1)2VABCPPABC345ÐAPB

如图，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为，，，求的度

数，为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP¢处，此时VACP¢≌VABP这样就可

PBPCÐAPB=

_______

以利用旋转变换，将三条线段PA、、转化到一个三角形中，从而求出；

知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作

等边三角形并连接等边三角形的顶点与VABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同

学们探索以下问题．

(2)3VABC120°VABC¢CB¢CB¢

如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形VABB，连接，求证：

过VABC的费马点．

(3)4RTVABCÐC=90°AC=