第17讲 直线与圆的位置关系8种常见考法归类（（教师版）).docxVIP

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第17讲直线与圆的位置关系8种常见考法归类

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想.

知识点1直线与圆的三种位置关系

位置关系

交点个数

图示

相交

有两个公共点

相切

只有一个公共点

相离

没有公共点

注：直线与圆的位置关系及判断

位置关系

相交

相切

相离

判定方法

几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))

d＜r

d＝r

d＞r

代数法：

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,?x－a?2＋?y－b?2＝r2))

消元得到一元二次方程的判别式Δ

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

知识点2直线与圆相交

1．解决圆的弦长问题的方法

几何法

（常用）

如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)

代数法

若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?xA＋xB?2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|

注：直线：；圆

联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到

2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．

知识点3直线与圆相切

1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）

2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法

先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．

3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法

几何法

当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程

代数法

当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出

4.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

5.切线长公式

记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；

知识点4圆上点到直线的最大（小）距离

设圆心到直线的距离为，圆的半径为

①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；

②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；

③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；

1、判断直线与圆位置关系的方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

2、过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.

3、过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法

设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．

4、求切线长(最值)的两种方法

(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；

(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．

5、求弦长的两种方法

(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d