第01讲 空间向量及其线性运算（人教A版2019选择性必修第一册）（学生版）.docx

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第01讲空间向量及其线性运算

【人教A版2019】

·模块一空间向量的概念

·模块二空间向量的线性运算

·模块三共线向量与共面向量

·模块四课后作业

模块一

模块一

空间向量的概念

1．空间向量的概念

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．

(2)长度或模：向量的大小．

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.

(4)几类特殊的空间向量

名称

定义及表示

零向量

长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量

模为1的向量称为单位向量

相反向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

共线向量(平行向量)

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a

相等向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量

【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；

(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.

【考点1空间向量概念的理解】

【例1.1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（????）

A．空间向量AB与BA的长度相等

B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C．空间向量就是空间中的一条有向线段

D．不相等的两个空间向量的模必不相等

【例1.2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；

②若空间向量a，?b满足a

③在正方体ABCD-A1B

④若空间向量a，b，c满足a=

⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式1.1】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a,b满足a=b，则a=b；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有

A．4 B．3 C．2 D．1

【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）下列命题为真命题的是（????）

A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B．若a=b，则a?

C．若向量AB?CD满足ABCD，且AB与CD

D．若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=

模块二

模块二

空间向量的线性运算

1．空间向量的线性运算

空间向量的线性运算

加法

a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))

减法

a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))

数乘

当λ0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；

当λ0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；

当λ＝0时，λa＝0

运算律

交换律：a＋b＝b＋a；

结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；

分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.

【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.

(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.

(3)空间向量加法的运算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.

【考点1空间向量的加减运算】

【例1.1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD-A1B1C

A．C1B B．BC1 C．

【例1.2】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，

A．AD1 B．OB1 C．

【变式1.1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知在长方体ABCD-A1B1C1D

A．3 B．2 C．1 D．-2

【变式1.2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD中下列表达式化简结果与AB相等的是（????）

A．AC+CD B

C