倍长中线模型的培优综合（学生版）---八年级数学.pdf

倍长中线模型的培优综合

目录

【知识点归纳】

【例题精讲】

【课后练习】

【知识点归纳】

1.基本模型(一)：

已知：在三角形ABC中，O为BC边中点，

辅助线：延长AO到点D使AO=DO，

同理在下图中仍能得到△AOB≌△DOC

规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶

角决定的．

2.基本模型(二)

①向中线做垂直，易证△BEO≌△CDO

步骤：延长AO到点D，过点B，C分别向AD作垂线，垂足为E，D，

易证△BEO≌△CDO(AAS)

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②过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO≌△CEO

步骤：AC上任意选取一点E，连接EO并延长到点D，使EO=DO，连接BD，

易证△BDO≌△CEO(SAS)

【例题精讲】

1(基本模型1)【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的

取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的

方法思考：

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．

(2)求得AD的取值范围是．

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的

结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

(3)如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：BM+

CNMN．

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2(基本模型2)[方法储备]如图1，在△ABC中，CM为△ABC的中线，若AC=2，BC=4，求CM的取值

范围．中线倍长法：如图2，延长CM至点D，使得MD=CM，连结BD，可证明，由全等得到BD=AC=

2，从而在△BCD中，根据三角形三边关系可以确定CD的范围，进一步即可求得CM的范围．

在上述过程中，证明△ACM≌△BDM的依据是，CM的范围为；

[思考探究]如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，D、E分别为AC、BC上的点，连结MD、

ME、DE，∠DME=90°，若BE=1，AD=2，求DE的长；

[拓展延伸]如图4，C为线段AB上一点，ACBC，分别以AC、BC为斜边向上作等腰Rt△ACD和等腰

Rt△CBE，M为AB中点，连结DM，EM，DE．

①求证：△DME为等腰直角三角形；

②若将图4中的等腰Rt△CBE绕点C转至图5的位置(A，B，C不在同一条直线上)，连结AB，M为AB中

点，且D，E在AB同侧，连结DM，EM．若AD=5，EB=3，求△DAM和△EBM的面积之差．

3(培优综合1)问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=4，AC

=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到

点E，使DE=AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：(用字

母表示)；

问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的

已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；

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拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=

90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM=3时，求DE的长．

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