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模块九:解三角形
1、余弦定理
(1)余弦定理:三角形中任意一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在△ABC中,角A,B
提示:在△ABC中,若∠C=
(2)余弦定理的推论及其变形
推论:cosA=
由余弦定理知在△ABC中,若∠A为锐角,则cosA0,从而b2+c2?a20,即b2+c2a
(3)余弦定理的证明(阅读课本人教A版必修二P42)
2、正弦定理(用不同方法给出证明)
(1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在△ABC中,角A,B,C
在正弦定理中,设asinA=bsin
(2)正弦定理的变形与推广
边化角。
1)a:
2)a=2Rsin
径);.角化边.
3)sinA=a2R,sin
4)asin
5)a
=
(3)正弦定理的证明(阅读课本人教A版必修二P46)3、三角形中三个内角之间的关系
利用正弦定理、余弦定理解决三角形的综合问题时,要注意三角形三个内角的一些三角函数关系:
在△ABC中,∠
(1)sinA
tanA=?tanB+
tan
(2)sinA
∴tanA1?tan
-(tanB+tanC),
∴tanA?tanAtanB
∴tanA+tan
tanAtanB
cos2A
4、三角形的面积公式
在△ABC中,角A,B
(1)S△
(2)S△
(3)S△ABC=12
(4)数量积形式的三角形面积公式:在△ABC中,设AB=m
S
(5)坐标形式的三角形面积公式:在△ABC中,设AB
S
注:其他表示三角形面积公式形式,请阅读课本人教A版必修二P54)5、三角形中的两个重要模型
(1)三角形周长的求解:三角形周长等于三边和,但是有的时候需要转化。
周长=
模型:a
(2)三角形面积最值:均值不等式求面积:均值不等式结合完全平方公式运算
模型:a
等量代换:a
S
6、测量中角的有关术语及计算
1.方位角
○名师点睛
正南方向:指从原点O出发经过目标的射线与正南的方向线重合,即目标在正南方向线上,可类推正北方向、正东方向和正西方向.
从指北方向顺时针转到目标方向的水平角,如图(1).
图(1)图(2):北偏东m°图(3):南偏西
2.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北偏东(西)、南偏东(西)xx度,如图(2),(3).
3.仰角与俯角
在同一铅直平面内,目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角.如图.4.坡角
坡角:坡面与水平面的夹角.坡度:坡面的垂直高度?和水平长度l的比.设坡角为α,坡度为i,则i=
【课本优质习题汇总】
人教A版必修二P51
2.如下页图,在山脚A测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a?m到达B处,在B处测得山顶P的仰角为γ.求证:山高?
(第2题)
人教A版必修二P53
(第8题)
8.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s
12.如图,在△ABC中,已知AB
(第12题)
AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,求
13.一条河的两岸平行,河的宽度d=500?m,一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度v1的大小为v1=
(1)当船逆流行驶,与水流成钝角时;
(2)当船顺流行驶,与水流成锐角时;
(3)当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间,判断是否当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时所用时间最短.
人教A版必修二P53
15.△ABC的三边分别为a,b,c
m
m
m
16.在△ABC中,求证:c
20.已知△ABC的三个角A,B,C
(1)三角形的面积S=
(2)若r为三角形的内切圆半径,则
r
(3)把边BC,AC,
?
?
?
人教A版必修二P54
21.如图,为了测量两山顶M,
(第21题)
沿水平方向在A,B两点进行测量,A,
(1)指出要测量的数据(用字母表示,并标示在图中);
(2)用文字和公式写出计算M
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