三次的费马方程各种证明.docx

(五)三次的费马方程

在第一部分里已经提到，首先发表n=3情形FLT的证明应归功于欧拉，它出现在1770年出版的欧拉的《代数》一书中．欧拉证明中的重要步骤使用了a2+3b2型整数的可除性，但没有给出充分的理由．勒让德在他的书中(1830)重复了欧拉的证明，没有给出进一步的解释．因为在这个问题上他也是一位专家，当然通晓欧拉的推论．数学家对此发表了一系列文

章．1966年波格曼发表了欧拉证明的彻底分析，出于历史的考虑，使这个争论更加明朗化．的确，1760年欧拉已经严格证明：如果s是奇数，且s3=a2+3b2，其中(a，b)=1．那么s=u2+3v2，这里u，v是整数．

这个情形的另外一个证明是高斯给出的．两个证明都用无穷递降法，

们还将看到，欧拉的证明只不过是高斯证明的一个特例，而后者的证明比前者要简单的多．

这里，首先给出一个初等证明，然后给出欧拉和高斯的证明．

初等证明

引理1方程

xx…x=w3 (1)

12 n

其中x，x…，x两两互素，全部整数解可由下列公式给出：

1 2 n

x=α3，x2=β3，…，x=τ 3，

1 n

w=αβ…τ (2)

其中α，β，…，τ 两两互素．

证明由(2)确定的x，x，…，x，w显然适合方程(1)．现证明方程

1 2 n

(1)的每一个解都可表示为(2)形．设x，x，…，x，w为方程(1)的一个

解．令

1 2 n

x=α3x′，x=β3x′，…，x=τ 3x′(3)其中x′，x′，…，x′

1 1 2 2 n n 1 2 n

为不含有立方因数的正数．因为x，x，…，x两两互素．所以α，β，…，

1 2 n

τ 及x′，x′…，x′，都两两互素．从(1)知α3β3…τ 3｜w3，得αβ…

1 2 n

τ ｜w．设w=αβ…τ w，代入(1)，得x′x′…x′=w3．

1 1 2 n 1

如果w有素因数p，那么p3｜x′x′…x′．因为x′，x′，…，

1 1 2 n 1 2

x′两两互素，所以p3整除某个x′，这与x′没有立方因数矛盾，因此

n i i

只有w=1．于是x′x′…x′=1．因为x′都是正整数，故x′=x′=…

1 1 2 n i 1 2

=x′=1．因此(3)为

n

x＝α3，x=β2，…，x=τ 3

1 2 n

其中α，β，…，τ 两两互素，而w=αβ…τ ．引理2方程

x2+3y2=z3，(x，y)=1 (4)

的一切整数解可以表示为

其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶．证明略．

推论1方程

x2-xy+y2=z3，(x，y)=1

的一切整数解包含在下列两组公式中：

其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶；

其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶．推论2方程

(6)

x2-xy+y2=3z3，(x，y)=1 (9)

的一切整数解均可由下面两组公式表出：

其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶．

其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶．现在我们证明

定理方程

x3+y3+z3=0，(x，y)=1 (12)

没有非零的整数解．

证明首先，我们证明方程(12)没有3xyz解．若方程(12)有解x，y，z，则

(z+y)(x2-xy+y2)=(-z)3 (13)

如果(x+y)与(x2-xy+y2)有素公因数p，即p|(x+y)，p|(x2-xy+y2)，那

么由3xy=(x+y)2-(x2-xy+y2)推得p|3xy．由于3z，故p≠3，所以p|xy；

不防设p|x，又因p|(x+y)，则有p|y，与(x，y)=1矛盾．因此，(x+y)与(x2-xy+y2)互素．由(13)并根据引理1，有

其中(α，β)=1．在(14)的第二式中，因(x，y)=1，3x，3y，根据引理2的推论1必有

其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶．把(15)中的x，y代入(14)第一式，得

2u(u+3v)(u-3v)=α3 (16)

因为(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶，所以2u，u+3v，u-3v两两互素，再根据引理1必有

α=α β γ

1 1 1

其中α ，β ，γ

1 1

两两互素．由(17)的前三式消去u，v，得

1

因为-z=αβ=α β γ

1 1

法又可得

β，所以3α β γ

1 1 1

，且|z|＞|γ

1

|＞0．用同样方

1

其中α ，β ，γ

2 2

满足3α β γ

2