第07讲 基本不等式（人教A版2019必修第一册）（学生版）.docx

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第07讲基本不等式

【人教A版2019】

·模块一两个不等式

·模块二基本不等式与最值

·模块三课后作业

模块一

模块一

两个不等式

1.两个不等式

eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

【注】“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b22ab，eq\r(ab)eq\f(a＋b,2).

【考点1对基本不等式的理解】

【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）不等式a2+4

A．a=4 B．a=2 C．a=-2 D

【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）给出下列条件：①ab0；②ab0；③a0，b0；④a0，b0.其中能使ab+b

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）若a,b∈R+，则下列关系正确的是（

A．21a+

C．ab≤21

【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列不等式中等号可以取到的是（????）

A．x2+5+

C．x2+1

【考点2由基本不等式比较大小】

【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，A=a+b2,

A．G≤H≤A B．H≤G≤A

C．G≤A≤H D．H≤A≤G

【例2.2】（2023·全国·高一假期作业）设A=nm+mn（m、n为互不相等的正实数），B=-

A．AB B

C．AB D

【变式2.1】（2023·全国·高三专题练习）已知实数a,b,c满足abc且abc0，则下列不等关系一定正确的是（

A．acbc B．abac

C．bc+c

【变式2.2】（2023·高一课时练习）若实数a，b满足0ab，且a+b=1.则下列四个数中最大的是（????）

A．12 B．a2+b2 C

【考点3利用基本不等式证明不等式】

【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）已知a0，b0，且a+b=1，求证：1+1

【例3.2】（2023·全国·高一假期作业）已知a0，b0，c0，求证：bca

【变式3.1】（2023·江苏·高一假期作业）已知a0，b0，c0，且a+b+c=1．求证：a+1

【变式3.2】（2023·贵州黔西·校考一模）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

(1)a2

(2)a3

模块二

模块二

基本不等式与最值

1．基本不等式与最值

已知x，y都是正数，

(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；

(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．

【考点1利用基本不等式求最值（无条件）】

【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）若x4，则y=x+1x-4的最值情况是（

A．有最大值-6 B．有最小值6 C．有最大值-2 D．有最小值2

【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知0x2，则y=x4-

A．2 B．4 C．5 D．6

【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）已知0x1，则当x(5-5x)取最大值时，x的值为（????）

A．54 B．12 C．13

【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）函数y=x2+6x+14

A．10 B．12 C．13 D．14

【考点2利用基本不等式求最值（有条件）】

【例2.1】（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知a0，b0，2a+1b=1

A．8 B．16 C．24 D．32

【例2.2】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（）

A．2 B．2 C．4

【变式2.1】（2023春·福建福州·高二校考学业考试）若正数x,y满足x+2y=2，则yx+1

A．2+1 B．22+1 C．2

【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知a，b为正实数，且ab+2a+b=6，则下列选项错误的是（???）

A．ab的最大值为2 B．2a+b的最小值为4

C．a+b的最小值为3 D．1a+1+

【考点3利用基本不等式求参数】

【例3.1】（2023·江苏·高一假期作业）若对x0，y0，有(x+2y)?(2x+

A．m≤4 B．m4

C．m0 D．m≤8

【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）当xa时，2x+8x-a的最小值为10，则a=（

A．1 B．2 C．22