倍长中线模型的培优综合（解析版）---八年级数学.pdf

倍长中线模型的培优综合

目录

【知识点归纳】

【例题精讲】

【课后练习】

【知识点归纳】

1.基本模型(一)：

已知：在三角形ABC中，O为BC边中点，

辅助线：延长AO到点D使AO=DO，

同理在下图中仍能得到△AOB≌△DOC

规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶

角决定的．

2.基本模型(二)

①向中线做垂直，易证△BEO≌△CDO

步骤：延长AO到点D，过点B，C分别向AD作垂线，垂足为E，D，

易证△BEO≌△CDO(AAS)

1

②过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO≌△CEO

步骤：AC上任意选取一点E，连接EO并延长到点D，使EO=DO，连接BD，

易证△BDO≌△CEO(SAS)

【例题精讲】

1(基本模型1)【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的

取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的

方法思考：

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．

(2)求得AD的取值范围是．

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的

结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

(3)如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：BM+

CNMN．

2

【答案】(1)SAS；(2)1AD7；(3)见解析

【分析】(1)根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；

(2)根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-62AD8+6，求出即

可；

(3)延长ND至点E，使DE=DN，连接BE、ME，证明△BED≌△CNDSAS，得到BE=CN，根据三角



形三边关系解答即可．

AD=DE

【详解】(1)解：∵在△ADC和△EDB中，∠ADC=∠BDE，





BD=CD

∴△ADC≌△EDB(SAS)，

故答案为：SAS；

(2)解：∵由(1)知：△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=6，AE=2AD，

∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-62AD8+6，

∴1AD7，

故答案为：1AD7．

(3)证明：延长ND至点E，使DE=DN，连接BE、ME，

如图所示：

∵点D是BC的中点，∴BD=CD．

DE=DN

在△BED和△CND中，∠BDE=∠CDN，





BD=CD

∴△BED≌△CNDSAS，



∴BE=CN，

∵DM⊥DN，DE=DN，

∴ME=MN，

在△BEM中，由三角形的三边关系得：BM+BEME，

∴BM+CNMN．

3

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，